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Funciones de forma y aproximación por elementos finitos

Para tratar computacionalmente la forma débil del principio de los trabajos virtuales, el dominio del cuerpo se divide en un número finito de elementos, y las coordenadas de los puntos materiales, el desplazamiento y la función de prueba dentro de cada elemento se interpolan a partir de valores nodales y funciones de forma. Las derivadas espaciales de las funciones de forma se tratan en Derivadas espaciales de las funciones de forma, la discretización de la forma débil en Discretización del trabajo virtual interno, y las formas específicas de las funciones de forma para cada tipo de elemento en Sistema de numeración de elementos y biblioteca de funciones de forma y las secciones posteriores.

Partición del dominio y sumas de integrales por elemento

El dominio \(\Omega_0\) en la configuración de referencia y el dominio \(\Omega\) en la configuración actual se aproximan mediante las uniones de los elementos \(\Omega^e_0\) y \(\Omega^e\), respectivamente:

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(\(e\) es el número del elemento y los contornos de los elementos son compartidos por elementos adyacentes.) Esto descompone las integrales de volumen y de superficie del principio de los trabajos virtuales en sumas de integrales sobre elementos individuales:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(Lo mismo se aplica a la configuración actual sustituyendo \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\) y \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\).) En lo sucesivo, la evaluación de la forma débil se reduce a construir integrales elemento por elemento.

Interpolación mediante valores nodales y funciones de forma (elementos isoparamétricos)

A cada elemento \(\Omega^e_0\) se le asignan \(n_e\) nodos. Sean \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) las coordenadas en la configuración de referencia y los desplazamientos nodales del nodo de elemento \(\alpha = 1, \ldots, n_e\). Los vectores nodales del elemento \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) y \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) se forman disponiendo estos valores; contienen únicamente las componentes de los nodos que constituyen el elemento, extraídas de los vectores nodales globales \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) (\(n_g\) es el número total de nodos), para el elemento \(e\).

Utilizando como parámetros las coordenadas naturales \(\boldsymbol{r}\), que son coordenadas locales dentro del elemento, las funciones de forma \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) interpolan las coordenadas materiales, el desplazamiento y la función de prueba dentro del elemento mediante las mismas funciones de forma (elemento isoparamétrico y método de Galerkin):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

Las funciones de forma se construyen para satisfacer las dos propiedades siguientes, y la geometría del elemento se elige de modo que la aplicación \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) de las coordenadas naturales a las coordenadas materiales sea uno a uno dentro del elemento:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(\(\boldsymbol{r}_\alpha\) es el punto en coordenadas naturales correspondiente al nodo \(\alpha\), y \(\delta_{\alpha\beta}\) es la delta de Kronecker.) La primera ecuación garantiza la reproducción de la traslación de cuerpo rígido, y la segunda garantiza que el valor interpolado coincida con el valor nodal en cada nodo. Las formas específicas de \(n_e\) y \(N_\alpha^e\) para cada tipo de elemento se proporcionan en Sistema de numeración de elementos y biblioteca de funciones de forma y en las secciones posteriores. Para evitar una notación engorrosa, la dependencia del tipo de elemento se representa mediante el superíndice \(e\) asociado al elemento.

Con las reglas de interpolación anteriores, el integrando de la forma débil puede expresarse únicamente en función de los valores nodales del elemento \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) y de \(N_\alpha^e\). La deformación unitaria, por otra parte, se obtiene a partir del desplazamiento interpolado y de la relación deformación-desplazamiento, mientras que la tensión se obtiene a partir de esa deformación y de la ley constitutiva del material; estas magnitudes no se interpolan directamente a partir de valores nodales. Se evalúan en los puntos de integración dentro del elemento (Integración numérica).

Regla de ordenación de los vectores nodales globales

Las magnitudes físicas asignadas a los nodos se disponen en el vector nodal global en orden ascendente de número de nodo → grado de libertad. Si, en el nodo \(\alpha\), la componente \(i\) del grado de libertad se denota por \(u_{i\alpha}\), entonces, en tres dimensiones (\(i=1,2,3\)) y dos dimensiones (\(i=1,2\)), respectivamente,

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]
\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

Las coordenadas \(\boldsymbol{X}^n\) y la función de prueba \(\delta\boldsymbol{u}^n\) siguen el mismo orden. En lo sucesivo, las derivaciones en forma matricial y vectorial se escriben tomando como representativo el caso tridimensional.

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