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Formulaciones avanzadas de elementos

La formulación estándar basada en desplazamientos presentada en Formulación de elementos sólidos 3D presenta una rigidez artificial excesiva, conocida como bloqueo (bloqueo volumétrico o bloqueo por cortante), cuando se aplica a materiales casi incompresibles o a estructuras de pared delgada dominadas por flexión. Para evitarlo, FrontISTR proporciona los métodos B-bar y F-bar, que sustituyen únicamente la parte volumétrica de la matriz B o del gradiente de deformación; elementos incompatibles con grados de libertad internos; elementos mixtos u-p que tratan la presión como un campo incógnita independiente; y elementos de lámina MITC y de viga especializados para estructuras de placa y viga.

Este capítulo resume las formulaciones de estos elementos avanzados y elementos estructurales, elemento por elemento.

Método B-bar

Cuando se utiliza un elemento hexaédrico lineal de 8 nodos para un material casi incompresible, el campo de deformaciones dentro de un elemento puede entrar en conflicto con la restricción de volumen constante y producir una rigidez excesiva conocida como bloqueo volumétrico. El método B-bar reduce esta sobrerrestricción sustituyendo las componentes de la matriz B que contribuyen a la expansión volumétrica por valores evaluados en el centro del elemento [Hughes1980].

En el centro del elemento \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\), sea \(\bar{\boldsymbol{B}}\) la matriz B calculada a partir de las derivadas espaciales de las funciones de forma; en el punto de integración \(\boldsymbol{r}\), sea \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\) la matriz B ordinaria. En la relación desplazamiento-deformación para el nodo \(\alpha\) y el grado de libertad \(i\), las componentes de deformación volumétrica \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) se modifican añadiendo

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

Para las componentes de cortante \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\), se utiliza la \(\boldsymbol{B}\) ordinaria. La rigidez del elemento y el vector de fuerzas internas se ensamblan utilizando la matriz B-bar resultante.

FrontISTR proporciona esta formulación específicamente para el elemento hexaédrico lineal de 8 nodos (ID de elemento 361; consulte Sistema de numeración de elementos), y puede aplicarse a formulaciones de pequeñas deformaciones, Lagrange total y Lagrange actualizado.

Método F-bar

Bajo deformación finita, el cambio volumétrico entra de forma no lineal a través del gradiente de deformación \(\boldsymbol{F}\). El método F-bar [deSouzaNeto1996] aplica, a nivel del gradiente de deformación, un tratamiento del bloqueo volumétrico análogo al método B-bar.

Sea \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) la razón de volumen del gradiente de deformación evaluado en el centro del elemento \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\), y sea \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\) la razón de volumen en un punto de integración. El gradiente de deformación en el punto de integración se sustituye por

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

De este modo se obtiene \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\), por lo que la razón de volumen en todo el elemento se iguala al valor del centro del elemento. La \(\bar{\boldsymbol{F}}\) sustituida se utiliza para evaluar la tensión y construir la matriz deformación-desplazamiento, y la rigidez tangente del elemento incluye los términos adicionales asociados a esta sustitución.

FrontISTR implementa el método F-bar específicamente para el elemento hexaédrico lineal de 8 nodos, y puede aplicarse tanto a pequeñas deformaciones como a geometría no lineal de Lagrange total / Lagrange actualizado.

Elementos incompatibles

El elemento hexaédrico lineal de 8 nodos carece de los modos de deformación necesarios para la flexión y presenta bloqueo por flexión en problemas dominados por flexión. Los elementos incompatibles [Taylor1976] introducen modos de desplazamiento adicionales dentro del elemento para compensar esta deficiencia.

Además de los desplazamientos nodales del elemento \(\boldsymbol{u}^e\), se introducen grados de libertad de modo incompatible \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\) que existen únicamente dentro del elemento, como 3 direcciones × 3 modos por elemento, y el campo de desplazamientos se aproxima como

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

Para las coordenadas naturales \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), las funciones de forma incompatibles se toman como \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\) y \(M_3 = 1 - \zeta^2\). No garantizan continuidad a través de los límites de los elementos, pero añaden un espacio interno capaz de reproducir las deformaciones asociadas a los modos de flexión.

La rigidez del elemento se ensambla primero en forma de bloques de grados de libertad externos/internos

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

Tras ensamblar de esta forma, la condensación estática elimina los grados de libertad internos mediante \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\), dando lugar a la rigidez del elemento que contiene únicamente los grados de libertad externos

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

que se pasa al ensamblaje global.

FrontISTR implementa el elemento incompatible específicamente para el elemento hexaédrico lineal de 8 nodos (C3D8IC), y puede aplicarse a formulaciones de pequeñas deformaciones, Lagrange total y Lagrange actualizado.

Elementos mixtos U-P

Mientras que los métodos B-bar y F-bar corrigen la componente volumétrica dentro de un marco basado en desplazamientos, el elemento mixto u-p (U-P) utiliza una formulación mixta [Bathe1996] que introduce la presión \(\lambda\) como un campo incógnita independiente del desplazamiento. En materiales casi incompresibles, como materiales similares al caucho con un coeficiente de Poisson extremadamente próximo a 0.5 o metales después de la deformación plástica, imponer la restricción de volumen constante utilizando únicamente el campo de desplazamientos provoca bloqueo volumétrico; tratar la presión como variable independiente relaja esta restricción.

La tensión se separa en componentes desviadora y de presión como

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

Aquí, \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) es la matriz elástica desviadora obtenida eliminando de la matriz elástica la parte volumétrica proporcional al módulo volumétrico \(K\). La presión \(\lambda\) y la deformación volumétrica \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) están relacionadas por la restricción mediante la compresibilidad \(\alpha^{-1} = 1/K\)

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

La discretización con el desplazamiento \(\boldsymbol{u}\) y la presión \(\lambda\) como incógnitas produce el sistema acoplado del elemento

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

donde \(\mathbf{K}_{uu}\) contiene la contribución elástica desviadora y, para deformación finita, la rigidez geométrica; \(\mathbf{K}_{up}\) acopla la deformación volumétrica y la presión; y \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) es el término de estabilización de la presión (\(\boldsymbol{N}_p\) es la función de forma de presión). Como los grados de libertad de presión son internos al elemento,

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

se realiza una condensación estática de esta forma y la rigidez efectiva que contiene únicamente los grados de libertad externos (desplazamientos) se pasa al ensamblaje global.

FrontISTR implementa el elemento U-P específicamente para el elemento hexaédrico lineal de 8 nodos, con un grado de libertad de presión por elemento (constante dentro del elemento). Puede aplicarse a formulaciones de pequeñas deformaciones, Lagrange total y Lagrange actualizado. En Lagrange actualizado, la tensión desviadora se actualiza mediante una tasa objetiva de tensión (tipo Jaumann/Hughes-Winget), y después se impone la presión \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) utilizando el valor obtenido por condensación estática.

Elementos de lámina

Los elementos de lámina basados en la teoría de placas/láminas de Reissner-Mindlin se utilizan para estructuras delgadas de placas y láminas. A medida que disminuye el espesor, los elementos de placa/lámina de bajo orden basados en desplazamientos sobreestiman la deformación por cortante transversal mediante un mecanismo análogo al bloqueo volumétrico (bloqueo por cortante), lo que hace que la rigidez para los modos de flexión aumente excesivamente. El método MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) [Dvorkin1984] [Bathe1986] evita este problema remuestreando únicamente las componentes de deformación por cortante en puntos de enlace predefinidos del elemento e interpolando de nuevo esos valores muestreados sobre el elemento.

Los nodos de un elemento de lámina MITC se encuentran sobre la superficie media, y cada nodo tiene seis grados de libertad: tres componentes de traslación y tres componentes de rotación respecto al sistema de coordenadas normal a la superficie media. La rigidez del elemento se evalúa mediante integración gaussiana tridimensional sobre las coordenadas naturales de la superficie media y la dirección del espesor, y el espesor \(h\) se suministra como propiedad del elemento durante la evaluación constitutiva.

FrontISTR proporciona MITC3 (ID de elemento 731), MITC4 (741) y MITC9 (743), representados por una única capa de superficie media, así como elementos de lámina estratificados MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 nodos, 3 GDL por nodo) y MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 nodos, 3 GDL por nodo), cuyos nodos se disponen en dos capas a través del espesor. En los elementos de lámina estratificados, los grados de libertad nodales constan únicamente de tres componentes de traslación, mientras que los modos de flexión correspondientes a grados de libertad de rotación se representan mediante la disposición de dos capas.

Elementos de viga

Los miembros lineales, como vigas maestras y estructuras de pórticos, se discretizan mediante elementos de viga. FrontISTR utiliza una formulación de viga de Timoshenko que tiene en cuenta la deformación por cortante y expresa tanto la flexión como el cortante en función de grados de libertad de traslación y rotación.

Cada nodo de viga tiene seis grados de libertad: tres componentes de traslación y tres componentes de rotación alrededor del eje de la viga y de los ejes transversales. La rigidez del elemento se evalúa mediante integración numérica unidimensional a lo largo del eje de la viga. El área de la sección transversal \(A\) y los segundos momentos de área \(I\) en las direcciones de flexión y torsión se suministran como propiedades de la sección de viga y, junto con el módulo de Young \(E\) y el módulo de cizalladura \(G\) del material, definen las rigideces axial, de flexión, torsional y de cortante.

FrontISTR proporciona un elemento de viga recta de 2 nodos (ID de elemento 611) y un elemento híbrido sólido-viga tetraédrico de 4 nodos representado con 3 nodos (641, para grados de libertad mixtos).

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