Lewati ke isi

Formulasi Elemen Lanjutan

Formulasi standar berbasis perpindahan yang disajikan pada Formulasi Elemen Solid 3D menunjukkan kekakuan artifisial berlebihan yang disebut locking (volumetric locking atau shear locking) ketika diterapkan pada material yang hampir tak termampatkan atau struktur berdinding tipis yang didominasi lentur. Untuk menghindarinya, FrontISTR menyediakan metode B-bar dan F-bar, yang hanya mengganti bagian volumetrik dari matriks B atau gradien deformasi; elemen incompatible yang memiliki derajat kebebasan internal; elemen campuran u-p yang memperlakukan tekanan sebagai medan tak diketahui independen; serta elemen shell MITC dan elemen beam yang dikhususkan untuk struktur pelat dan balok.

Bab ini merangkum formulasi elemen lanjutan dan elemen struktur tersebut untuk masing-masing jenis elemen.

Metode B-bar

Ketika elemen heksahedral linear 8-node digunakan untuk material yang hampir tak termampatkan, medan regangan di dalam satu elemen dapat bertentangan dengan kendala volume konstan dan menghasilkan kekakuan berlebihan yang disebut volumetric locking. Metode B-bar mengurangi kendala berlebihan ini dengan mengganti komponen matriks B yang berkontribusi terhadap pemuaian volumetrik dengan nilai yang dievaluasi di pusat elemen [Hughes1980].

Di pusat elemen \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\), misalkan matriks B yang dihitung dari turunan spasial fungsi bentuk adalah \(\bar{\boldsymbol{B}}\); pada titik integrasi \(\boldsymbol{r}\), misalkan matriks B biasa adalah \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\). Dalam hubungan perpindahan-regangan untuk node \(\alpha\) dan derajat kebebasan \(i\), komponen regangan volumetrik \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) dimodifikasi dengan menambahkan

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

Untuk komponen geser \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\), \(\boldsymbol{B}\) biasa digunakan. Kekakuan elemen dan vektor gaya internal dirakit menggunakan matriks B-bar yang dihasilkan.

FrontISTR menyediakan formulasi ini secara khusus untuk elemen heksahedral linear 8-node (ID elemen 361; lihat Sistem Penomoran Elemen), dan formulasi ini dapat diterapkan pada deformasi kecil, Total Lagrange, dan Updated Lagrange.

Metode F-bar

Pada deformasi hingga, perubahan volume masuk secara nonlinear melalui gradien deformasi \(\boldsymbol{F}\). Metode F-bar [deSouzaNeto1996] menerapkan penanganan volumetric locking yang analog dengan metode B-bar pada tingkat gradien deformasi.

Misalkan rasio volume gradien deformasi yang dievaluasi di pusat elemen \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) adalah \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\), dan rasio volume pada titik integrasi adalah \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\). Gradien deformasi pada titik integrasi diganti dengan

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

Dengan demikian, \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\), sehingga rasio volume di seluruh elemen disamakan dengan nilai di pusat elemen. \(\bar{\boldsymbol{F}}\) yang telah diganti digunakan untuk evaluasi tegangan dan pembentukan matriks regangan-perpindahan, dan kekakuan tangen elemen mencakup suku tambahan yang terkait dengan penggantian ini.

FrontISTR mengimplementasikan metode F-bar secara khusus untuk elemen heksahedral linear 8-node, dan metode ini dapat diterapkan pada deformasi kecil serta geometri nonlinear Total Lagrange / Updated Lagrange.

Elemen Incompatible

Elemen heksahedral linear 8-node tidak memiliki mode regangan yang diperlukan untuk lentur dan menunjukkan bending locking pada masalah yang didominasi lentur. Elemen incompatible [Taylor1976] memperkenalkan mode perpindahan tambahan di dalam elemen untuk mengompensasi kekurangan ini.

Selain perpindahan nodal elemen \(\boldsymbol{u}^e\), diperkenalkan derajat kebebasan mode incompatible \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\) yang hanya ada di dalam elemen, yaitu 3 arah × 3 mode per elemen, dan medan perpindahan diaproksimasi sebagai

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

Untuk koordinat alami \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), fungsi bentuk incompatible diambil sebagai \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\), dan \(M_3 = 1 - \zeta^2\). Fungsi tersebut tidak menjamin kontinuitas melintasi batas elemen, tetapi menambahkan ruang internal yang mampu mereproduksi regangan yang terkait dengan mode lentur.

Kekakuan elemen terlebih dahulu dirakit dalam bentuk blok DOF eksternal/DOF internal

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

Setelah dirakit dalam bentuk ini, kondensasi statik mengeliminasi derajat kebebasan internal menggunakan \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\), sehingga diperoleh kekakuan elemen yang hanya melibatkan derajat kebebasan eksternal

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

yang diteruskan ke perakitan global.

FrontISTR mengimplementasikan elemen incompatible secara khusus untuk elemen heksahedral linear 8-node (C3D8IC), dan elemen ini dapat diterapkan pada formulasi deformasi kecil, Total Lagrange, dan Updated Lagrange.

Elemen Campuran U-P

Sementara metode B-bar dan F-bar mengoreksi komponen volumetrik dalam kerangka berbasis perpindahan, elemen campuran u-p (U-P) menggunakan formulasi campuran [Bathe1996] yang memperkenalkan tekanan \(\lambda\) sebagai medan tak diketahui yang independen dari perpindahan. Untuk material yang hampir tak termampatkan, seperti material menyerupai karet dengan rasio Poisson yang sangat dekat dengan 0.5 atau logam setelah deformasi plastik, pemberlakuan kendala volume konstan hanya dengan medan perpindahan menyebabkan volumetric locking; memperlakukan tekanan sebagai variabel independen melonggarkan kendala ini.

Tegangan dipisahkan menjadi komponen deviatorik dan tekanan sebagai

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

Di sini, \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) adalah matriks elastis deviatorik yang diperoleh dengan menghilangkan dari matriks elastis bagian volumetrik yang sebanding dengan modulus bulk \(K\). Tekanan \(\lambda\) dan regangan volumetrik \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) dihubungkan oleh kendala melalui kompresibilitas \(\alpha^{-1} = 1/K\)

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

Diskretisasi dengan perpindahan \(\boldsymbol{u}\) dan tekanan \(\lambda\) sebagai variabel tak diketahui menghasilkan sistem terkopel elemen

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

di mana \(\mathbf{K}_{uu}\) memuat kontribusi elastis deviatorik dan, untuk deformasi hingga, kekakuan geometris; \(\mathbf{K}_{up}\) mengkopel regangan volumetrik dan tekanan; dan \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) adalah suku stabilisasi tekanan (\(\boldsymbol{N}_p\) adalah fungsi bentuk tekanan). Karena derajat kebebasan tekanan bersifat internal terhadap elemen,

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

kondensasi statik dilakukan dalam bentuk ini, dan kekakuan efektif yang hanya melibatkan derajat kebebasan eksternal (perpindahan) diteruskan ke perakitan global.

FrontISTR mengimplementasikan elemen U-P secara khusus untuk elemen heksahedral linear 8-node, dengan satu derajat kebebasan tekanan per elemen (konstan di dalam elemen). Elemen ini dapat diterapkan pada formulasi deformasi kecil, Total Lagrange, dan Updated Lagrange. Dalam Updated Lagrange, tegangan deviatorik diperbarui menggunakan laju tegangan objektif (tipe Jaumann/Hughes-Winget), kemudian tekanan \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) diberlakukan menggunakan nilai yang diperoleh melalui kondensasi statik.

Elemen Shell

Elemen shell yang didasarkan pada teori pelat/shell Reissner-Mindlin digunakan untuk struktur pelat dan shell berdinding tipis. Ketika ketebalan berkurang, elemen pelat/shell berbasis perpindahan orde rendah melebihestimasi regangan geser transversal melalui mekanisme yang analog dengan volumetric locking (shear locking), sehingga kekakuan untuk mode lentur meningkat secara berlebihan. Metode MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) [Dvorkin1984] [Bathe1986] menghindari masalah ini dengan melakukan resampling hanya pada komponen regangan geser di tying point yang telah ditentukan di dalam elemen, lalu menginterpolasikan kembali nilai sampel tersebut ke seluruh elemen.

Node elemen shell MITC terletak pada permukaan tengah, dan setiap node memiliki enam derajat kebebasan: tiga komponen translasi dan tiga komponen rotasi terhadap sistem koordinat normal permukaan tengah. Kekakuan elemen dievaluasi dengan integrasi Gaussian tiga dimensi pada koordinat alami permukaan tengah dan arah ketebalan, dan ketebalan \(h\) diberikan sebagai sifat elemen selama evaluasi konstitutif.

FrontISTR menyediakan MITC3 (ID elemen 731), MITC4 (741), dan MITC9 (743), yang direpresentasikan oleh satu lapisan permukaan tengah, serta elemen shell berlapis MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 node, 3 DOF per node) dan MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 node, 3 DOF per node), yang node-nya disusun dalam dua lapisan pada arah ketebalan. Pada elemen shell berlapis, derajat kebebasan nodal hanya terdiri dari tiga komponen translasi, sedangkan mode lentur yang bersesuaian dengan derajat kebebasan rotasi direpresentasikan oleh susunan dua lapisan.

Elemen Beam

Komponen garis seperti girder dan struktur rangka didiskretisasi dengan elemen beam. FrontISTR menggunakan formulasi beam Timoshenko yang memperhitungkan deformasi geser dan menyatakan lentur maupun geser sebagai fungsi derajat kebebasan translasi dan rotasi.

Setiap node beam memiliki enam derajat kebebasan: tiga komponen translasi dan tiga komponen rotasi terhadap sumbu beam dan sumbu transversal. Kekakuan elemen dievaluasi dengan integrasi numerik satu dimensi sepanjang sumbu beam. Luas penampang \(A\) dan momen kedua luas \(I\) pada arah lentur dan torsi diberikan sebagai sifat penampang beam, dan bersama modulus Young material \(E\) serta modulus geser \(G\) menentukan kekakuan aksial, lentur, torsi, dan geser.

FrontISTR menyediakan elemen beam lurus 2-node (ID elemen 611) dan elemen hibrida solid-beam tetrahedral 4-node yang direpresentasikan dengan 3 node (641, untuk derajat kebebasan campuran).

Topik Terkait