고성능 요소 정식화¶

3차원 솔리드 요소의 정식화에서 제시한 표준 변위 기반 정식화는 거의 비압축성인 재료나 굽힘 지배 박벽 구조에 적용하면 로킹(체적 로킹 또는 전단 로킹)이라 불리는 과도한 인공 강성을 나타냅니다. 이를 피하기 위해 FrontISTR는 B 행렬 또는 변형 구배의 체적 성분만 치환하는 B-bar법과 F-bar법, 내부 자유도를 도입하는 비적합 요소, 압력을 변위와 독립된 미지장으로 취급하는 u-p 혼합 요소, 그리고 판 및 보 구조에 특화된 MITC 셸 요소와 보 요소를 제공합니다.

이 장에서는 이러한 고성능 요소 및 구조 요소의 정식화를 요소별로 정리합니다.

B-bar법¶

8절점 1차 육면체 요소를 준비압축성 재료에 사용하면 하나의 요소 내부 변형률장이 일정 체적 제약과 충돌하여 체적 로킹이라 불리는 과도한 강성이 발생합니다. B-bar법은 B 행렬에서 체적 팽창에 기여하는 성분을 요소 중심에서 평가한 값으로 치환하여 이러한 과구속을 완화합니다 [Hughes1980].

요소 중심 \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\)에서 형상 함수의 공간 미분으로 계산한 B 행렬을 \(\bar{\boldsymbol{B}}\), 적분점 \(\boldsymbol{r}\)에서 계산한 일반 B 행렬을 \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\)라 합니다. 절점 \(\alpha\)의 자유도 \(i\)에 대한 변위-변형률 관계에서 체적 변형률 성분 \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\)에는

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

를 더하고, 전단 성분 \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\)에는 일반 \(\boldsymbol{B}\)를 사용합니다. 이렇게 얻은 B-bar 행렬을 사용해 요소 강성과 내력 벡터를 조립합니다.

FrontISTR는 이 정식화를 8절점 1차 육면체 요소(요소 ID 361, 요소 번호 체계) 전용으로 제공하며, 미소변형, Total Lagrange, Updated Lagrange 정식화 모두에 적용할 수 있습니다.

F-bar법¶

유한변형에서는 체적 변화가 변형 구배 \(\boldsymbol{F}\)를 통해 비선형적으로 작용하므로, B-bar법과 유사한 체적 로킹 대책을 변형 구배 수준에서 적용하는 것이 F-bar법 [deSouzaNeto1996]입니다.

요소 중심 \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\)에서 평가한 변형 구배의 체적비를 \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\), 적분점에서의 체적비를 \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\)라 하고, 적분점의 변형 구배를

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

로 치환합니다. 이에 따라 \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\)가 되어 요소 전체의 체적비가 요소 중심값과 같아집니다. 응력 평가와 변형률-변위 행렬 구성에는 치환된 \(\bar{\boldsymbol{F}}\)를 사용하고, 요소 접선 강성에는 이 치환에 따른 추가 항을 포함합니다.

FrontISTR는 F-bar법을 8절점 1차 육면체 요소 전용으로 구현하고 있으며, 미소변형뿐 아니라 Total Lagrange / Updated Lagrange 비선형 기하에도 적용할 수 있습니다.

비적합 요소¶

8절점 1차 육면체 요소는 굽힘에 필요한 변형률 모드가 부족하여 굽힘 지배 문제에서 굽힘 로킹을 나타냅니다. 비적합 요소 [Taylor1976]는 이 부족함을 보완하기 위해 요소 내부에 추가 변위 모드를 도입합니다.

요소 절점 변위 \(\boldsymbol{u}^e\)에 더해 요소 내부에만 존재하는 비적합 모드 자유도 \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\)를 요소당 3방향 × 3모드로 도입하고, 변위장을

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

로 근사합니다.

자연좌표 \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\)에 대해 비적합 형상 함수는 \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\), \(M_3 = 1 - \zeta^2\)로 둡니다. 이들은 요소 경계에서 연속성을 보장하지 않지만 굽힘 모드와 관련된 변형률을 재현할 수 있는 내부 공간을 추가합니다.

요소 강성은 먼저 외부 자유도/내부 자유도의 블록 형태로 조립합니다.

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

그 후 \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\)를 이용해 내부 자유도를 제거하는 정적 축약을 수행하여 외부 자유도만 포함하는 요소 강성

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

을 전체 조립에 전달합니다.

FrontISTR는 비적합 요소를 8절점 1차 육면체 요소(C3D8IC) 전용으로 구현하고 있으며 미소변형, Total Lagrange, Updated Lagrange 정식화 모두에 적용할 수 있습니다.

U-P 혼합 요소¶

B-bar법과 F-bar법이 변위 기반 틀 안에서 체적 성분을 보정하는 데 비해, u-p 혼합(U-P) 요소는 압력 \(\lambda\)를 변위와 독립된 미지장으로 도입하는 혼합 정식화 [Bathe1996]를 사용합니다. 포아송비가 0.5에 매우 가까운 고무계 재료나 소성 변형 이후의 금속처럼 거의 비압축성인 재료에서 변위장만으로 일정 체적 제약을 강제하면 체적 로킹이 발생하므로, 압력을 독립 변수로 취급하여 이 제약을 완화합니다.

응력을 편차 성분과 압력 성분으로 분리하면

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

입니다.

여기서 \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\)는 탄성 행렬에서 체적 탄성률 \(K\)에 비례하는 체적 성분을 제거하여 얻은 편차 탄성 행렬입니다. 압력 \(\lambda\)와 체적 변형률 \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\)는 압축성 \(\alpha^{-1} = 1/K\)를 통해 다음 제약 관계를 갖습니다.

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

변위 \(\boldsymbol{u}\)와 압력 \(\lambda\)를 미지수로 이산화하면 요소 연성 시스템은

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

이 됩니다.

여기서 \(\mathbf{K}_{uu}\)는 편차 탄성 기여와 유한변형에서는 기하 강성을 포함하고, \(\mathbf{K}_{up}\)는 체적 변형률과 압력을 연성하며, \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\)는 압력 안정화 항입니다(\(\boldsymbol{N}_p\)는 압력 형상 함수). 압력 자유도는 요소 내부 자유도이므로

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

형태로 정적 축약을 수행하고 외부(변위) 자유도만 포함하는 유효 강성을 전체 조립에 전달합니다.

FrontISTR는 U-P 요소를 8절점 1차 육면체 요소 전용으로 구현하며 요소당 하나의 압력 자유도(요소 내 일정)를 사용합니다. 미소변형, Total Lagrange, Updated Lagrange 정식화에 적용할 수 있습니다. Updated Lagrange에서는 객관 응력률(Jaumann/Hughes-Winget형)을 사용해 편차 응력을 갱신한 뒤, 정적 축약으로 얻은 값을 사용하여 압력 \(\lambda\,\boldsymbol{I}\)를 부여합니다.

셸 요소¶

얇은 판 및 셸 구조에는 Reissner-Mindlin 판/셸 이론에 기반한 셸 요소를 사용합니다. 두께가 얇아지면 저차 변위 기반 판/셸 요소는 체적 로킹과 유사한 메커니즘으로 횡전단 변형률을 과대평가하는 전단 로킹을 일으켜 굽힘 모드의 강성이 지나치게 커집니다. MITC(Mixed Interpolation of Tensorial Components)법 [Dvorkin1984] [Bathe1986]은 전단 변형률 성분만 요소 내 미리 정한 tying point에서 다시 샘플링하고 그 값을 요소 전체에 보간하여 이 문제를 회피합니다.

MITC 셸 요소의 절점은 중립면에 놓이며, 각 절점은 3개의 병진 성분과 중립면 법선 좌표계에 대한 3개의 회전 성분으로 구성된 6자유도를 갖습니다. 요소 강성은 중립면 자연좌표와 두께 방향에 대한 3차원 가우스 적분으로 평가하며, 두께 \(h\)는 구성 관계 평가 시 요소 특성으로 주어집니다.

FrontISTR는 하나의 중립면 층으로 표현되는 MITC3(요소 ID 731), MITC4(741), MITC9(743)와, 두께 방향으로 두 층에 절점을 배치한 적층 셸 요소 MITC3-shell361(761, 3\(\times\)2 절점, 절점당 3자유도) 및 MITC4-shell361(781, 4\(\times\)2 절점, 절점당 3자유도)을 제공합니다. 적층 셸 요소의 절점 자유도는 3개의 병진 성분만으로 구성되며, 회전 자유도에 해당하는 굽힘 모드는 두 층 배치로 표현됩니다.

보 요소¶

거더와 프레임 구조 같은 선형 부재는 보 요소로 이산화합니다. FrontISTR는 전단 변형을 고려하는 Timoshenko 보 정식화를 사용하며, 굽힘과 전단을 모두 병진 및 회전 자유도의 함수로 표현합니다.

각 보 절점은 보 축 및 횡축에 대한 3개의 병진 성분과 3개의 회전 성분, 총 6자유도를 갖습니다. 요소 강성은 보 축을 따라 1차원 수치 적분으로 평가합니다. 단면적 \(A\)와 굽힘 및 비틀림 방향의 단면 2차 모멘트 \(I\)는 보 단면 특성으로 주어지며, 재료의 영률 \(E\) 및 전단 탄성계수 \(G\)와 함께 축, 굽힘, 비틀림, 전단 강성을 정의합니다.

FrontISTR는 2절점 직선 보 요소(요소 ID 611)와 3개의 절점으로 표현되는 4절점 사면체 솔리드-보 혼합 요소(641, 혼합 자유도용)를 제공합니다.