운동·변형·변형률¶

기준 배치와 현재 배치¶

배치의 정의¶

물리량을 "어느 시점의 형상"을 기준으로 기술하는지 구분하기 위해 이 매뉴얼에서는 두 종류의 배치를 사용한다.

기준 배치(reference configuration): 해석 시작 시점(시각 \(0\))의 변형 전 형상(초기 배치라고도 함). 기준 배치 내의 점을 물질좌표 \(\boldsymbol{X}\)로 나타내고, 체적을 \(V\), 표면을 \(S\)로 한다.
현재 배치(current configuration): 시각 \(t\)에서 변형 후의 형상. 현재 배치 내의 점을 공간좌표 \(\boldsymbol{x}\)로 나타내고, 체적을 \(v\), 표면을 \(s\)로 한다.

운동은 이 두 배치 사이의 사상 \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\)으로 나타내며, 변위는 \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\)로 정의한다.

배치에 의존하는 기호 규약(대문자/소문자)¶

물리량이 어느 배치에 속하는지를 기호의 대소문자로 구분한다.

기준 배치에 속하는 양은 대문자로 표기한다(예: \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)).
현재 배치에 속하는 양은 소문자로 표기한다(예: \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)).
제1 Piola-Kirchhoff 응력 \(\boldsymbol{P}\)와 같이 두 배치에 걸친 양은 관례적인 기호를 사용하고 본문에서 필요할 때마다 명시한다.
미소변형 이론에서는 두 배치의 구별이 사라지므로 소문자(\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\))만 사용한다.

기준 배치 기울기와 현재 배치 기울기¶

공간 미분을 어느 배치에 대해 취하는지에 따라 기호와 의미가 달라진다.

기준 배치 기울기 \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): 물질좌표에 관한 기울기. 예: \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\).
현재 배치 기울기 \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): 공간좌표에 관한 기울기. 예: \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\).

두 기울기는 \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\)로 관계된다. 시간 미분 규약(물질 시간 미분 \(\dot{(\cdot)}\))은 텐서 표기법과 수학적 기초를 참조한다.

운동의 기술¶

운동 사상과 물질 기술·공간 기술¶

연속체를 시각 \(0\)에서의 위치 \(\boldsymbol{X}\)를 라벨로 하는 물질점의 집합으로 보면, 운동은 물질점 \(\boldsymbol{X}\)에 시각 \(t\)에서의 위치 \(\boldsymbol{x}\)를 대응시키는 사상 \(\phi\)에 의해

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

로 나타낸다. 기준 배치를 초기 배치로 취하는 규약에서는 \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\)이다.

독립변수의 선택에 따라 두 종류의 기술을 구분한다.

물질 기술(Lagrange 기술): 물리량을 \((\boldsymbol{X}, t)\)의 함수로 나타낸다. 고체역학에서는 기준 배치가 고정 형상으로 주어지므로 자연스러운 선택이다.
공간 기술(Euler 기술): 물리량을 \((\boldsymbol{x}, t)\)의 함수로 나타낸다. 유체역학에서 표준적으로 사용된다.

FrontISTR의 구조 해석은 기본적으로 물질 기술에 기반하지만, Updated Lagrange 법에서는 현재 배치를 새로운 기준 배치로 사용하므로 공간 기술의 양도 함께 사용한다.

변위·속도·가속도¶

변위 \(\boldsymbol{u}\)는 앞 절과 같이 \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\)로 정의한다. 크기에 관한 가정은 두지 않고 유한변형까지 포함하여 다룬다. 속도 벡터와 가속도 벡터는 물질점을 고정한 \(\boldsymbol{u}\)의 물질 시간 미분으로서

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

로 정의된다.

변형 기울기와 변형 텐서¶

변형 기울기 텐서¶

유한변형 연속체역학의 기본량은 변형 기울기 텐서 \(\boldsymbol{F}\)이다. 이는 기준 배치의 미소 선분 \(d\boldsymbol{X}\)를 현재 배치의 미소 선분 \(d\boldsymbol{x}\)로 사상하는 선형 사상이며, 운동 사상의 물질좌표에 관한 기울기로

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

정의된다(\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\)). 무변형 상태에서는 \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\)가 된다. \(\boldsymbol{F}\)는 변형률과 응력의 정의, 배치 사이의 물리량 변환에 널리 사용된다.

체적 변화비¶

기준 배치의 미소 체적 \(dV\)와 현재 배치의 미소 체적 \(dv\)의 비를 체적 변화비 \(J\)라고 하며

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

로 주어진다. 연속체로서의 가역성으로부터 \(J > 0\)을 가정한다. 질량 보존법칙은 \(\rho_0 = J\rho\)로 나타낸다.

오른쪽·왼쪽 Cauchy-Green 변형 텐서¶

변형 기울기 \(\boldsymbol{F}\)는 강체 회전을 포함하므로 변형 자체를 나타내는 척도에는 강체 회전을 제외한 양을 사용한다. 오른쪽 Cauchy-Green 변형 텐서 \(\boldsymbol{C}\)(기준 배치)와 왼쪽 Cauchy-Green 변형 텐서 \(\boldsymbol{b}\)(현재 배치)를

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

로 정의한다. 둘 다 대칭 텐서이며 동일한 고유값(주신장비의 제곱)을 갖는다. 초탄성 변형 에너지 함수의 주불변량은 이들을 사용하여 주어진다.

변형률 텐서¶

Green-Lagrange 변형률 텐서¶

기준 배치를 기준으로 하는 변형률 척도로 Green-Lagrange 변형률 텐서 \(\boldsymbol{E}\)를

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

로 정의한다. 기준 배치에서 미소 벡터 내적의 변화를 나타내는 대칭 텐서이며, 강체 회전에 대해 불변이고 무변형 상태에서 \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\)이 된다. \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\)를 사용하면

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

와 같이 변위 기울기의 1차항과 2차항의 합으로 나타내며, 2차항이 기하학적 비선형성을 나타낸다. Total Lagrange 법에서는 일 공액쌍 \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\)으로 사용한다.

Almansi 변형률 텐서¶

현재 배치를 기준으로 하는 변형률 척도로 Almansi 변형률 텐서 \(\boldsymbol{e}\)를

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

로 정의한다. Green-Lagrange 변형률과는 \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\)(pull-back)으로 연결된다.

미소 변형률 텐서¶

변위 기울기가 작은 경우(\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)), Green-Lagrange 변형률의 2차항을 무시할 수 있고 두 배치의 구별도 사라지므로 기울기를 공간좌표로 나타낸 미소 변형률 텐서 \(\boldsymbol{\varepsilon}\)로 귀착된다:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR의 선형 정적 해석·모드 해석·주파수 응답 해석·선형 동적 해석에서는 이 변형률 척도를 사용한다. 유한변형 해석에서는 Total Lagrange 법에서 \(\boldsymbol{E}\)를, Updated Lagrange 법에서는 현재 배치를 기준으로 하는 변형 속도 텐서 \(\boldsymbol{D}\)를 사용한다.