초탄성¶

본 장에서는 FrontISTR가 지원하는 초탄성 구성법칙을 다룬다. 모델 선택과 입력 지정의 자세한 내용은 기능편 03_material을 참조한다.

현상(대변형 가역 응답)¶

TBD(다음 단계에서 본문화).

구성법칙의 틀¶

등방성 초탄성 재료의 탄성 포텐셜 에너지는 응력이 작용하지 않는 초기 상태로부터의 등방성 응답에서 얻어지며, 우 Cauchy-Green 변형 텐서 \(C\)의 주불변량 \((I_1, I_2, I_3)\) 또는 체적 변화를 제거한 변형 텐서의 주불변량 \((\overline{I}_1, \overline{I}_2, \overline{I}_3)\)의 함수, 즉 \(W = W(I_1, I_2, I_3)\) 또는 \(W = W(\overline{I}_1, \overline{I}_2, \overline{I}_3)\)로 나타낼 수 있다.

초탄성 재료의 구성식은 제2 Piola-Kirchhoff 응력과 Green-Lagrange 변형률의 관계로 정의되며, 그 변형 해석에는 Total Lagrange법을 적용한다.

탄성 포텐셜 에너지 \(W\)를 알면 다음과 같이 제2 Piola-Kirchhoff 응력 및 응력-변형률 관계를 계산할 수 있다.

\[ S = 2\frac{\partial W}{\partial C} \]

\[ \mathbb{C} = 4 \frac{\partial^2 W}{\partial C \partial C} \]

이하에서는 FrontISTR가 채택하는 초탄성 모델의 탄성 포텐셜 에너지 \(W\)를 열거한다.

Neo-Hookean 초탄성 모델¶

Neo-Hookean 초탄성 모델은 등방성을 갖는 선형법칙(Hooke 법칙)을 대변형 문제에 적용할 수 있도록 확장한 것이다. 그 탄성 포텐셜은 다음과 같다.

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 \]

여기서 \(C_{10}\)과 \(D\)는 재료 상수이다.

Mooney-Rivlin 초탄성 모델¶

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + C_{01} (\overline{I}_2 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 \]

여기서 \(C_{10}\), \(C_{01}\)과 \(D\)는 재료 상수이다.

Mooney-Rivlin 이방성 초탄성 모델¶

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + C_{01} (\overline{I}_2 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 + C_{42} (\overline{I}_4 - 1)^2 + C_{43} (\overline{I}_4 - 1)^3 \]

여기서 \(C_{10}\), \(C_{01}\)과 \(D\)는 등방성 모델과 공통인 재료 상수이며, \(C_{42}\)와 \(C_{43}\)은 이방성 전용 재료 상수이다.

Arruda-Boyce 초탄성 모델¶

\[ \begin{aligned} W &= \mu \left[ \frac{1}{2}(\overline{I}_1 - 3) + \frac{1}{20\lambda_m^2}(\overline{I}_1^2 - 9) + \frac{11}{1050\lambda_m^4}(\overline{I}_1^3 - 27) \right. \\ &\quad \left. + \frac{19}{7000\lambda_m^6}(\overline{I}_1^4 - 81) + \frac{519}{673750\lambda_m^8}(\overline{I}_1^5 - 243) \right] + \frac{1}{D} \left( \frac{J^2 - 1}{2} - \ln J \right) \end{aligned} \]

\[ \mu = \frac{\mu_0}{1 + \dfrac{3}{5\lambda_m^2} + \dfrac{99}{175\lambda_m^4} + \dfrac{513}{875\lambda_m^6} + \dfrac{42039}{67375\lambda_m^8}} \]

여기서 \(\mu_0\), \(\lambda_m\)과 \(D\)는 재료 상수이다.