Hyperelastizität¶

Dieses Kapitel behandelt die von FrontISTR unterstützten hyperelastischen Stoffgesetze. Einzelheiten zur Auswahl der Modelle und zu den Eingabespezifikationen finden Sie im Funktionsabschnitt 03_material.

Phänomen (reversible Antwort bei großen Verformungen)¶

TBD (wird in der nächsten Phase als vollständiger Text ausgearbeitet).

Rahmen des Stoffgesetzes¶

Für ein isotropes hyperelastisches Material wird die elastische potentielle Energie aus einer isotropen Antwort ausgehend vom anfänglich spannungsfreien Zustand bestimmt und kann als Funktion der Hauptinvarianten \((I_1, I_2, I_3)\) des rechten Cauchy-Green-Deformationstensors \(C\) oder der Hauptinvarianten \((\overline{I}_1, \overline{I}_2, \overline{I}_3)\) des um die Volumenänderung bereinigten Deformationstensors ausgedrückt werden, also als \(W = W(I_1, I_2, I_3)\) oder \(W = W(\overline{I}_1, \overline{I}_2, \overline{I}_3)\).

Das Stoffgesetz eines hyperelastischen Materials wird durch die Beziehung zwischen der zweiten Piola-Kirchhoff-Spannung und der Green-Lagrange-Dehnung definiert; für die Verformungsanalyse wird die Total-Lagrange-Methode angewendet.

Ist die elastische potentielle Energie \(W\) bekannt, können die zweite Piola-Kirchhoff-Spannung und die Spannungs-Dehnungs-Beziehung wie folgt berechnet werden.

\[ S = 2\frac{\partial W}{\partial C} \]

\[ \mathbb{C} = 4 \frac{\partial^2 W}{\partial C \partial C} \]

Die elastischen Potentialenergien \(W\) der in FrontISTR verwendeten hyperelastischen Modelle sind nachfolgend aufgeführt.

Hyperelastisches Neo-Hookean-Modell¶

Das hyperelastische Neo-Hookean-Modell erweitert ein isotropes lineares Gesetz (Hookesches Gesetz), sodass es auf Probleme mit großen Verformungen angewendet werden kann. Sein elastisches Potential lautet wie folgt.

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 \]

Dabei sind \(C_{10}\) und \(D\) Materialkonstanten.

Hyperelastisches Mooney-Rivlin-Modell¶

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + C_{01} (\overline{I}_2 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 \]

Dabei sind \(C_{10}\), \(C_{01}\) und \(D\) Materialkonstanten.

Anisotropes hyperelastisches Mooney-Rivlin-Modell¶

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + C_{01} (\overline{I}_2 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 + C_{42} (\overline{I}_4 - 1)^2 + C_{43} (\overline{I}_4 - 1)^3 \]

Dabei sind \(C_{10}\), \(C_{01}\) und \(D\) Materialkonstanten, die dem isotropen Modell gemeinsam sind, während \(C_{42}\) und \(C_{43}\) Materialkonstanten sind, die die Anisotropie beschreiben.

Hyperelastisches Arruda-Boyce-Modell¶

\[ \begin{aligned} W &= \mu \left[ \frac{1}{2}(\overline{I}_1 - 3) + \frac{1}{20\lambda_m^2}(\overline{I}_1^2 - 9) + \frac{11}{1050\lambda_m^4}(\overline{I}_1^3 - 27) \right. \\ &\quad \left. + \frac{19}{7000\lambda_m^6}(\overline{I}_1^4 - 81) + \frac{519}{673750\lambda_m^8}(\overline{I}_1^5 - 243) \right] + \frac{1}{D} \left( \frac{J^2 - 1}{2} - \ln J \right) \end{aligned} \]

\[ \mu = \frac{\mu_0}{1 + \dfrac{3}{5\lambda_m^2} + \dfrac{99}{175\lambda_m^4} + \dfrac{513}{875\lambda_m^6} + \dfrac{42039}{67375\lambda_m^8}} \]

Dabei sind \(\mu_0\), \(\lambda_m\) und \(D\) Materialkonstanten.