Lineare elastische statische Analyse (Einführung)

In diesem Abschnitt wird die Formulierung der elastischen statischen Analyse auf Basis der Theorie kleiner Verformungen dargestellt. Für die Spannungs-Dehnungs-Beziehung wird lineare Elastizität angenommen. Dieses Kapitel dient als Einführung, um den Gesamtüberblick über die Strukturanalyse mittels der Finite-Elemente-Methode zu vermitteln, und ist so aufgebaut, dass es in sich abgeschlossen in einem einzigen Kapitel gelesen werden kann.

Für die allgemeine Theorie des Prinzips der virtuellen Arbeit (Darstellung in der aktuellen Konfiguration, in der Ausgangskonfiguration und die Rückführung auf kleine Verformungen) siehe Prinzip der virtuellen Arbeit; für die Einzelheiten des linear-elastischen Stoffgesetzes siehe Lineare Elastizität; für die Konventionen der Tensor- und Voigt-Notation siehe Tensornotation und mathematische Grundlagen; für die allgemeine Formulierung endlicher Verformungen siehe Bewegung, Verformung und Dehnung; und für Lösungsverfahren nichtlinearer Probleme siehe Tangentiale Steifigkeitsmatrix.

Grundgleichungen

Das Randwertproblem der Festkörpermechanik unter der Annahme kleiner Verformungen und linearer Elastizität besteht aus der Gleichgewichtsgleichung, den mechanischen Randbedingungen und den geometrischen Randbedingungen (wesentliche Randbedingungen) (siehe Abbildung 2.1.1):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{in} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{auf} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{auf} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

Hierbei ist \(\boldsymbol{\sigma}\) die Cauchy-Spannung, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) die Volumenkraft pro Einheitsvolumen, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) die (vorgegebene) Oberflächenkraft, \(\overline{\boldsymbol{u}}\) die vorgegebene Verschiebung, und \(S_t, S_u\) sind der mechanische bzw. der geometrische Rand.

Abbildung 2.1.1 Randwertproblem der Festkörpermechanik (Problem kleiner Verformungen)

Die Dehnungs-Verschiebungs-Beziehung lautet unter Verwendung des symmetrischen Gradientenoperators

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

Die linear-elastische Konstitutivgleichung lautet

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

(wobei \(\boldsymbol{C}\) der Elastizitätstensor vierter Stufe ist).

Prinzip der virtuellen Arbeit

Die allgemeinen Formen des Prinzips der virtuellen Arbeit (Darstellung in der aktuellen Konfiguration, in der Ausgangskonfiguration und die Rückführung auf kleine Verformungen) sind in Prinzip der virtuellen Arbeit zusammengefasst. Unter der Annahme kleiner Verformungen und linearer Elastizität lautet die schwache Form

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{auf} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

Setzt man die Konstitutivgleichung \eqref{eq:2.1.5} ein und schreibt sie in Voigt-Notation als \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\), so erhält man die für die Diskretisierung unmittelbar verwendete Form

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

(wobei \(D\) die in Lineare Elastizität definierte Elastizitätsmatrix ist). Die Gleichungen \eqref{eq:2.1.10} und \eqref{eq:2.1.7} bilden das Prinzip der virtuellen Arbeit, das im Folgenden diskretisiert wird.

Diskretisierung und Aufbau der globalen Gleichung

Diskretisiert man das Prinzip der virtuellen Arbeit, Gleichung \( \eqref{eq:2.1.10} \), elementweise über die finiten Elemente, so erhält man die folgende Gleichung.

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

Für jedes Element wird das Verschiebungsfeld unter Verwendung der Verschiebungen der das Element bildenden Knoten wie folgt interpoliert.

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

Die Dehnung ist dann unter Verwendung von Gleichung \(\eqref{eq:2.1.4}\) wie folgt gegeben.

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

Setzt man Gleichung \(\eqref{eq:2.1.12}\) und Gleichung \(\eqref{eq:2.1.13}\) in Gleichung \(\eqref{eq:2.1.11}\) ein, so erhält man die folgende Gleichung.

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

Gleichung \(\eqref{eq:2.1.14}\) lässt sich wie folgt zusammenfassen.

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

Hier, die Komponenten der Matrix und des Vektors, die durch Gleichung \(\eqref{eq:2.1.16}\) und Gleichung \(\eqref{eq:2.1.17}\) definiert sind, können für jedes finite Element berechnet und überlagert werden.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

Da Gleichung \(\eqref{eq:2.1.15}\) für eine beliebige virtuelle Verschiebung \(\delta \boldsymbol{U}\) gilt, erhält man die folgende Gleichung.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

Andererseits wird die Verschiebungsrandbedingung, Gleichung \(\eqref{eq:2.1.3}\), wie folgt ausgedrückt.

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

Durch Lösen von Gleichung \(\eqref{eq:2.1.18}\) unter der Nebenbedingung von Gleichung \(\eqref{eq:2.1.19}\) lässt sich die Knotenverschiebung \(\boldsymbol{U}\) bestimmen.

Siehe auch