Analisis Statik Elastik Linier (Pendahuluan)

Bagian ini menyajikan formulasi analisis statik elastik berdasarkan teori deformasi infinitesimal. Elastisitas linier diasumsikan untuk hubungan tegangan-regangan. Bab ini dimaksudkan sebagai pengantar untuk memahami struktur keseluruhan analisis struktur elemen hingga dan disusun sebagai bab yang mandiri.

Untuk teori umum prinsip kerja virtual (bentuk konfigurasi saat ini, bentuk konfigurasi awal, dan reduksi ke deformasi infinitesimal), lihat Prinsip Kerja Virtual; untuk rincian hukum konstitutif elastik linier, lihat Elastisitas Linier; untuk konvensi notasi tensor dan Voigt, lihat Notasi Tensor dan Dasar Matematika; untuk formulasi umum deformasi hingga, lihat Gerak, Deformasi, dan Regangan; dan untuk metode penyelesaian masalah nonlinier, lihat Matriks Kekakuan Tangen.

Persamaan Dasar

Dengan asumsi deformasi infinitesimal dan elastisitas linier, masalah nilai batas dalam mekanika padat terdiri atas persamaan keseimbangan, kondisi batas mekanik, dan kondisi batas geometrik (kondisi batas esensial) (lihat Gambar 2.1.1):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{di} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{pada} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{pada} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

Di sini, \(\boldsymbol{\sigma}\) adalah tegangan Cauchy, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) adalah gaya badan per satuan volume, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) adalah traksi permukaan yang ditentukan, \(\overline{\boldsymbol{u}}\) adalah perpindahan yang ditentukan, dan \(S_t, S_u\) adalah batas mekanik dan geometrik.

Gambar 2.1.1 Masalah nilai batas dalam mekanika padat (masalah deformasi infinitesimal)

Dengan menggunakan operator gradien simetris, hubungan regangan-perpindahan adalah

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

Persamaan konstitutif elastik linier adalah

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

dengan \(\boldsymbol{C}\) sebagai tensor elastisitas orde empat.

Prinsip Kerja Virtual

Bentuk umum prinsip kerja virtual (bentuk konfigurasi saat ini, bentuk konfigurasi awal, dan reduksi ke deformasi infinitesimal) dirangkum dalam Prinsip Kerja Virtual. Dengan asumsi deformasi infinitesimal dan elastisitas linier, bentuk lemahnya adalah

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{pada} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

Dengan mensubstitusikan persamaan konstitutif \eqref{eq:2.1.5} dan menuliskan \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) dalam notasi Voigt, diperoleh bentuk yang digunakan langsung untuk diskretisasi:

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

diperoleh, dengan \(D\) sebagai matriks elastik yang didefinisikan dalam Elastisitas Linier. Persamaan \eqref{eq:2.1.10} dan \eqref{eq:2.1.7} membentuk prinsip kerja virtual yang didiskretisasi di bawah ini.

Diskretisasi dan Perakitan Persamaan Global

Mendiskretisasi prinsip kerja virtual pada Pers.\( \eqref{eq:2.1.10} \) di atas elemen hingga memberikan

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

Untuk setiap elemen, medan perpindahan diinterpolasi menggunakan perpindahan node-node yang membentuk elemen sebagai berikut.

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

Regangan kemudian diberikan menggunakan Pers.\(\eqref{eq:2.1.4}\) sebagai berikut.

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

Mensubstitusikan Pers.\(\eqref{eq:2.1.12}\) dan \(\eqref{eq:2.1.13}\) ke dalam Pers.\(\eqref{eq:2.1.11}\) memberikan

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

Persamaan \(\eqref{eq:2.1.14}\) dapat dituliskan sebagai

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

Di sini, komponen matriks dan vektor yang didefinisikan oleh Pers.\(\eqref{eq:2.1.16}\) dan \(\eqref{eq:2.1.17}\) dapat dihitung untuk setiap elemen hingga dan dirakit dengan superposisi.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

Karena Pers.\(\eqref{eq:2.1.15}\) berlaku untuk perpindahan virtual sembarang \(\delta \boldsymbol{U}\), diperoleh persamaan berikut.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

Sementara itu, kondisi batas perpindahan pada Pers.\(\eqref{eq:2.1.3}\) dinyatakan sebagai berikut.

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

Dengan menyelesaikan Pers.\(\eqref{eq:2.1.18}\) dengan syarat kendala pada Pers.\(\eqref{eq:2.1.19}\), perpindahan nodal \(\boldsymbol{U}\) dapat ditentukan.

Lihat Juga