Lewati ke isi

Fungsi Bentuk untuk Elemen Solid 3D

Bab ini merangkum sistem koordinat natural dan bentuk eksplisit fungsi bentuk \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) yang diperkenalkan dalam Fungsi Bentuk dan Aproksimasi Elemen Hingga untuk elemen solid tiga dimensi yang digunakan FrontISTR dalam analisis kontinuum. Enam jenis elemennya adalah tetrahedron orde pertama/kedua (341/342), prisma segitiga orde pertama/kedua (351/352), dan heksahedron orde pertama/kedua (361/362). Lihat Pustaka Elemen pada referensi fungsi untuk urutan node dan nomor muka dalam format mesh HEC-MW.

Prosedur untuk membentuk integrasi elemen dari fungsi bentuk ini dan determinan Jacobian mengikuti Integrasi Numerik. Formulasi B-bar, F-bar, dan incompatible untuk 361, serta fungsi bentuk untuk elemen beam dan shell, dibahas dalam Formulasi Elemen Lanjutan.

Sistem Koordinat Natural dan Urutan Node Internal

Fungsi bentuk didefinisikan pada koordinat natural \(\boldsymbol{r}\) dari setiap elemen. Elemen solid tiga dimensi menggunakan tiga sistem koordinat natural berikut sesuai bentuk elemen.

  • Heksahedron (361/362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\).
  • Tetrahedron (341/342): koordinat volume \((L_1, L_2, L_3, L_4)\), with \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\) and \(L_i \ge 0\). Dengan mengambil \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\) sebagai variabel bebas, \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\).
  • Prisma segitiga (351/352): menggabungkan koordinat volume \((\xi, \eta)\) dari segitiga dasar (\(0 \le \xi, \eta\), \(\xi + \eta \le 1\)) dengan koordinat aksial \(\zeta \in [-1, 1]\) untuk membentuk \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\). Besaran bantu \(a = 1 - \xi - \eta\) digunakan sebagai koordinat volume ketiga pada dasar.

Untuk elemen orde pertama, penomoran node elemen sama pada format input HEC-MW dan format internal. Untuk elemen orde kedua, konvensi urutan node tengah sisi berbeda. FrontISTR menerima format HEC-MW sebagai input (node sudut dicantumkan mengelilingi elemen, lalu node tengah sisi menurut urutan sisi 1-2, 2-3, …), sedangkan fungsi bentuk dalam pustaka elemen diimplementasikan dengan asumsi urutan node yang berbeda.

Perbedaan antara kedua format diselesaikan oleh hecmw2fstr_mesh_conv, yang dipanggil segera setelah input mesh dan mengurutkan ulang node untuk setiap elemen. Di antara elemen solid tiga dimensi, dua jenis berikut dikonversi.

Jenis elemen Tabel konversi Deskripsi
342 (tetrahedron orde kedua) Table342 Mengurutkan ulang 10 node menjadi \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\)
352 (prisma segitiga orde kedua) Table352 Mengurutkan ulang 15 node menjadi \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\)

Karena pengurutan ulang dilakukan langsung pada array yang menyimpan konektivitas elemen, semua pemanggilan pustaka elemen berikutnya menggunakan urutan node internal FrontISTR. Untuk elemen heksahedron orde kedua 362, tidak ada tabel konversi karena urutan node tengah sisi pada input HEC-MW sama dengan format internal FrontISTR. Pada keluaran hasil, konversi balik fstr2hecmw_mesh_conv memulihkan urutan node HEC-MW sebelum penulisan, sehingga pengguna hanya perlu memperhatikan format HEC-MW untuk input maupun output. Nomor node pada fungsi bentuk di bawah menggunakan format internal FrontISTR yang telah dikonversi.

Fungsi Bentuk untuk Elemen Orde Pertama

Untuk elemen tetrahedron orde pertama (341), fungsi bentuknya adalah koordinat volume itu sendiri:

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

Untuk elemen prisma segitiga orde pertama (351), fungsi bentuk merupakan hasil kali fungsi bentuk linear segitiga dasar (\(a, \xi, \eta\)) dan fungsi bentuk aksial linear (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)):

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

Untuk elemen heksahedron orde pertama (361), fungsi bentuk merupakan produk tensor fungsi bentuk linear dalam tiga arah koordinat:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

Di sini \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) adalah nilai koordinat natural node \(\alpha\) (setiap komponen bernilai \(\pm 1\)).

Fungsi Bentuk untuk Elemen Orde Kedua

Untuk elemen tetrahedron orde kedua (342), fungsi bentuk dibagi menjadi empat node sudut dan enam node tengah sisi:

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

Node tengah sisi 5–10 masing-masing berkorespondensi dengan titik tengah sisi 1-2, 2-3, 1-3, 1-4, 2-4, dan 3-4.

Elemen prisma segitiga orde kedua (352) terdiri atas enam node sudut, enam node tengah sisi pada muka segitiga, dan tiga node tengah sisi pada rusuk aksial:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

Node tengah sisi 7–9 berkorespondensi dengan titik tengah sisi segitiga bawah (\(\zeta = -1\)), node 10–12 dengan titik tengah sisi segitiga atas (\(\zeta = +1\)), dan node 13–15 dengan titik tengah rusuk aksial.

Elemen heksahedron orde kedua (362) adalah elemen 20-node dari keluarga Serendipity. Misalkan nilai koordinat natural node \(\alpha\) adalah \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\). Untuk node sudut (\(\alpha = 1, \ldots, 8\), dengan setiap komponen \(\pm 1\)),

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

Untuk node tengah sisi (\(\alpha = 9, \ldots, 20\), dengan salah satu dari tiga koordinat natural bernilai \(0\) dan dua lainnya bernilai \(\pm 1\)), node dengan \(\xi_\alpha = 0\) (rusuk yang berorientasi pada arah \(\xi\)) memiliki

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

Node tengah sisi yang arah rusuknya adalah sumbu \(\eta\) atau \(\zeta\) diberikan secara analog, dengan koordinat natural yang bersesuaian dieliminasi oleh suku kuadrat.

Topik Terkait