Ana içeriğe geç

3B Katı Elemanlar için Şekil Fonksiyonları

Bu bölüm, Şekil Fonksiyonları ve Sonlu Eleman Yaklaşımı bölümünde tanıtılan \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) şekil fonksiyonları için, FrontISTR'ın sürekli ortam analizinde kullandığı üç boyutlu katı elemanların doğal koordinat sistemlerini ve açık biçimlerini özetler. Altı eleman türü; birinci/ikinci mertebe dört yüzlüler (341/342), birinci/ikinci mertebe üçgen prizmalar (351/352) ve birinci/ikinci mertebe altı yüzlülerdir (361/362). HEC-MW ağ biçimindeki düğüm sıralaması ve yüzey numaraları için işlev referansındaki Eleman Kitaplığı bölümüne bakın.

Bu şekil fonksiyonları ve Jacobian determinantından eleman integrasyonunun oluşturulma prosedürü Sayısal İntegrasyon bölümünü izler. 361 için B-bar, F-bar ve uyumsuz formülasyonlar ile kiriş ve kabuk elemanlarının şekil fonksiyonları Gelişmiş Eleman Formülasyonları bölümünde ele alınır.

Doğal Koordinat Sistemleri ve İç Düğüm Sıralaması

Şekil fonksiyonları her elemanın doğal koordinatları \(\boldsymbol{r}\) üzerinde tanımlanır. Üç boyutlu katı elemanlar, eleman şekline göre aşağıdaki üç doğal koordinat sistemini kullanır.

  • Altı yüzlüler (361/362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\).
  • Dört yüzlüler (341/342): hacim koordinatları \((L_1, L_2, L_3, L_4)\); \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\) ve \(L_i \ge 0\). Bağımsız değişkenler olarak \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\) alınır ve \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\) olur.
  • Üçgen prizmalar (351/352): taban üçgeninin hacim koordinatları \((\xi, \eta)\) (\(0 \le \xi, \eta\), \(\xi + \eta \le 1\)) ile eksenel koordinat \(\zeta \in [-1, 1]\) birleştirilerek \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) oluşturulur. Yardımcı büyüklük \(a = 1 - \xi - \eta\), tabandaki üçüncü hacim koordinatı olarak kullanılır.

Birinci mertebe elemanlarda eleman-düğüm numaralandırması HEC-MW giriş biçiminde ve iç biçimde aynıdır. İkinci mertebe elemanlarda orta kenar düğümlerinin sıralama kuralları farklıdır. FrontISTR giriş olarak HEC-MW biçimini kabul eder (köşe düğümleri elemanın çevresinde sıralanır, ardından 1-2, 2-3, … kenar sırasına göre orta kenar düğümleri gelir); eleman kitaplığındaki şekil fonksiyonları ise farklı bir düğüm sıralaması varsayılarak uygulanmıştır.

İki biçim arasındaki fark, ağ okumasından hemen sonra çağrılan hecmw2fstr_mesh_conv tarafından her eleman için düğümlerin yeniden sıralanmasıyla giderilir. Üç boyutlu katı elemanlar arasında aşağıdaki iki tür dönüştürülür.

Eleman türü Dönüşüm tablosu Açıklama
342 (ikinci mertebe dört yüzlü) Table342 10 düğümü \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\) sırasına getirir
352 (ikinci mertebe üçgen prizma) Table352 15 düğümü \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\) sırasına getirir

Yeniden sıralama doğrudan eleman bağlantısını saklayan dizi üzerinde yapıldığından, eleman kitaplığına sonraki tüm çağrılar FrontISTR iç düğüm sıralamasını kullanır. İkinci mertebe altı yüzlü eleman 362 için dönüşüm tablosu yoktur; çünkü HEC-MW girişi ile FrontISTR iç biçimindeki orta kenar düğüm sırası aynıdır. Sonuç çıktısında ters dönüşüm fstr2hecmw_mesh_conv çağrılarak yazmadan önce HEC-MW düğüm sıralaması geri yüklenir; dolayısıyla kullanıcıların hem giriş hem çıkış için yalnızca HEC-MW biçimini dikkate alması yeterlidir. Aşağıdaki şekil fonksiyonlarında kullanılan düğüm numaraları, dönüştürülmüş FrontISTR iç biçimine göredir.

Birinci Mertebe Elemanların Şekil Fonksiyonları

Birinci mertebe dört yüzlü eleman (341) için şekil fonksiyonları doğrudan hacim koordinatlarıdır:

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

Birinci mertebe üçgen prizma elemanı (351) için şekil fonksiyonları, taban üçgeninin doğrusal şekil fonksiyonları (\(a, \xi, \eta\)) ile eksenel doğrusal şekil fonksiyonlarının (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)) çarpımlarıdır:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

Birinci mertebe altı yüzlü eleman (361) için şekil fonksiyonları, üç koordinat yönündeki doğrusal şekil fonksiyonlarının tensör çarpımlarıdır:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

Burada \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\), düğüm \(\alpha\)'nın doğal koordinat değerleridir (her bileşen \(\pm 1\)).

İkinci Mertebe Elemanların Şekil Fonksiyonları

İkinci mertebe dört yüzlü eleman (342) için şekil fonksiyonları dört köşe düğümü ve altı orta kenar düğümü olarak ayrılır:

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

5–10 numaralı orta kenar düğümleri sırasıyla 1-2, 2-3, 1-3, 1-4, 2-4 ve 3-4 kenarlarının orta noktalarına karşılık gelir.

İkinci mertebe üçgen prizma elemanı (352), altı köşe düğümü, üçgen yüzeylerde altı orta kenar düğümü ve eksenel kenarlarda üç orta kenar düğümünden oluşur:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

7–9 numaralı orta kenar düğümleri alt üçgenin (\(\zeta = -1\)) kenar orta noktalarına, 10–12 numaralı düğümler üst üçgenin (\(\zeta = +1\)) kenar orta noktalarına ve 13–15 numaralı düğümler eksenel kenarların orta noktalarına karşılık gelir.

İkinci mertebe altı yüzlü eleman (362), Serendipity ailesinden 20 düğümlü bir elemandır. Düğüm \(\alpha\)'nın doğal koordinat değerleri \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) olsun. Köşe düğümleri (\(\alpha = 1, \ldots, 8\), her bileşen \(\pm 1\)) için

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

Orta kenar düğümleri (\(\alpha = 9, \ldots, 20\); üç doğal koordinattan biri \(0\), diğer ikisi \(\pm 1\)) için, \(\xi_\alpha = 0\) olan düğümlerde (kenarlar \(\xi\) yönünde) şu ifade kullanılır:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

Kenar yönü \(\eta\) veya \(\zeta\) ekseni olan orta kenar düğümleri de benzer şekilde, ilgili doğal koordinatın kareli terimle elendiği biçimde verilir.

İlgili Konular