Ana içeriğe geç

Sayısal İntegrasyon

İç Sanal İşin Ayrıklaştırılması ve Dış Sanal İş ve Global Denklemin Montajı bölümlerinde elde edilen eleman iç kuvvet vektörleri \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) ile eleman rijitlik matrisi \(\boldsymbol{K}^e\), eleman bölgesi \(\Omega^e\) veya \(\Omega^e_0\) üzerindeki integraller biçimindedir. FrontISTR bunları Gauss kuadratürü kullanarak sayısal olarak değerlendirir.

Gauss Kuadratürü ve Değişken Dönüşümü

Gauss kuadratürü, referans bölgesi \(\Xi\) üzerindeki bir integrali, integrasyon noktaları \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\)'deki integrand değerleri ile \(w_i\) ağırlıklarının doğrusal birleşimiyle yaklaşıklar. Eleman bölgesi \(\Omega^e\)'ye uygulandığında \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\) eşlemesi üzerinden değişken dönüşümü yapılarak

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

elde edilir.

Burada \(n_q\) integrasyon noktalarının sayısı, \(J_{\xi_i}\) ise dönüşüm Jacobian'ının determinantıdır. Referans bölgesi \(\Xi\) her eleman türü için tanımlanır (heksahedron için \([-1,1]^3\); üçgenler, tetrahedronlar ve kamalar için karşılık gelen referans şekilleri) ve integrasyon noktaları \(\boldsymbol{\xi}_i\) ile ağırlıklar \(w_i\) sayısal tablolar halinde verilir. Yüzey integralleri de bir eleman yüzünün iki boyutlu referans bölgesinden eşlenmesiyle aynı biçimde ele alınır.

FrontISTR tarafından kullanılan temsilî integrasyon noktası sayıları aşağıda gösterilmiştir (eleman türleriyle eşleştirme için Eleman Numaralandırma Şeması ve Şekil Fonksiyonu Kütüphanesi bölümüne bakın).

Eleman türü Kuadratür kuralı İntegrasyon noktası sayısı
4 düğümlü tetrahedron (tet4n) 1 noktalı kural 1
10 düğümlü tetrahedron (tet10n) 4 noktalı kural 4
6 düğümlü üçgen prizma (prism6n) 2 noktalı kural 2
15 düğümlü üçgen prizma (prism15n) 9 noktalı kural 9
8 düğümlü heksahedron (hex8n) 2×2×2 Gauss-Legendre 8
20 düğümlü heksahedron (hex20n) 3×3×3 Gauss-Legendre 27
4 düğümlü dörtgen (quad4n) 2×2 Gauss-Legendre 4
8 düğümlü dörtgen (quad8n) 3×3 Gauss-Legendre 9
3 düğümlü üçgen (tri3n) 1 noktalı kural 1
6 düğümlü üçgen (tri6n) 3 noktalı kural 3

Heksahedral, dörtgen ve çizgi elemanlarda her koordinat yönündeki Gauss-Legendre kuralının tensör çarpımları kullanılır. Üçgenler, tetrahedronlar ve üçgen prizmalar simpleks türü geometrilere uygun özel kurallar kullanır (üçgenin kendisi üzerinde polinomları tam olarak integre eden nokta düzenleri).

Eleman İntegrasyonuna Uygulama

Eleman integrasyonunda doğal koordinatlar \(\boldsymbol{r}\) referans bölgesinin koordinatları olarak kullanılır (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)) ve fiziksel koordinatlara eşleme, şekil fonksiyonlarıyla düğüm koordinatı enterpolasyonu üzerinden verilir. Referans konfigürasyonu seçimine (Artımlı Analiz Çerçevesi) bağlı olarak aşağıdaki formülasyonlar kullanılır.

Total Lagrangian yöntemi (referans konfigürasyonu \(\Omega^e_0\) üzerinde integrasyon): eşleme ve Jacobian

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

şeklindedir ve eleman iç kuvveti ile rijitlik matrisi

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

olarak yaklaşıklanır.

\(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) niceliklerinin tümü integrasyon noktası \(\boldsymbol{r}_i\)'de değerlendirilir.

Updated Lagrangian yöntemi (güncel konfigürasyon \(\Omega^e\) üzerinde integrasyon): eşleme ve Jacobian

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

şeklindedir ve

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

yaklaşımları kullanılır.

İki formülasyon arasındaki tek fark, eşlemeye verilen düğüm koordinatlarının \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) mı yoksa \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\) mı olduğudur; integrasyon noktaları, ağırlıklar ve integrasyon-noktası döngüsünün yapısı ortaktır.

Tam İntegrasyon ve Azaltılmış İntegrasyon

Integrandın polinom derecesini tam olarak integre edecek kadar integrasyon noktası kullanan integrasyona tam integrasyon, bir seviye daha az integrasyon noktası kullanan integrasyona ise azaltılmış integrasyon denir. Azaltılmış integrasyon, kayma ve hacimsel kilitlenmeyi hafifletmek için kullanılır ancak hourglass modları gibi yapay deformasyon modlarının ele alınmasını gerektirir. Her eleman türü için integrasyon noktası sayısı ve tam ya da azaltılmış integrasyon seçimi Eleman Numaralandırma Şeması ve Şekil Fonksiyonu Kütüphanesi ve sonraki bölümlerde, ayrıca Gelişmiş Eleman Formülasyonları bölümünde ele alınır.

İlgili Konular