Ana içeriğe geç

Geçici Isı İletimi Analizi

Bu bölüm, sonlu eleman yöntemi (FEM) kullanılarak katıların ısı iletimi analizi için zaman ayrıklaştırmasını ve yinelemeli çözüm yöntemini sunar. Sürekli ortamın yönetici denklemleri ve sınır koşulları için Isı İletimi Denklemi bölümüne bakın.

Ayrıklaştırılmış Denklem (Başlangıç Noktası)

Isı iletimi denkleminin (ısı iletimi denklemi (gov_he_main)) Galerkin yöntemiyle ayrıklaştırılması sonucunda

\[\begin{equation} K T + M \frac{\partial T}{\partial t} = F \label{eq:2.4.8} \end{equation}\]

burada

\[\begin{equation} K = \int\left( k_x \frac{\partial N^T}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial x} + k_y \frac{\partial N^T}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial y} + k_z \frac{\partial N^T}{\partial z}\frac{\partial N}{\partial z} \right) dV + \int hc N^T N ds + \int hr N^T N ds \label{eq:2.4.9} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M = \int \rho c N^T N dV \label{eq:2.4.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} F = \int Q N^T dV - \int q_s N^T dS + \int{hc} T c N^T dS + \int{hcTr} ({T+Tr}) ({T^2 + T r^2}) N^T dS \label{eq:2.4.11} \end{equation}\]
\[\begin{equation} N = (N^1, N^2, \ldots, Ni) \label{eq:2.4.12} \end{equation}\]

Burada \(K\), \(M\), \(F\) ve \(N\) sırasıyla ısı iletim matrisi (taşınım ve radyasyon sınır katkıları dahil), kütle matrisi, ısıl yük vektörü ve şekil fonksiyonu matrisidir. Malzeme özelliği sembollerinin (\(\rho\), \(c\), \(k_x, k_y, k_z\), \(Q\), \(hc\), \(hr\) vb.) tanımları Isı İletimi Denklemi bölümündeki tanımları izler.

Zaman Ayrıklaştırması ve Yinelemeli Çözüm

Denklem \(\eqref{eq:2.4.8}\), doğrusal olmayan ve geçici bir denklemdir. Zaman ayrıklaştırması için geri Euler yöntemi kullanıldığında, \(t=t_0\) zamanındaki sıcaklık biliniyorsa \(t=t_0+\Delta t\) zamanındaki sıcaklık aşağıdaki denklem kullanılarak hesaplanır.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} + M_{t=t_0+\Delta t} \frac{T_{t=t_0+\Delta t} - T_{t=t_0}}{\Delta t} = F_{t=t_0+\Delta t} \label{eq:2.4.13} \end{equation}\]

Denklem \(\eqref{eq:2.4.13}\)'ü yaklaşık olarak sağlayan sıcaklık vektörü \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\) iyileştirilerek daha doğru çözüm \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)+1}\) elde edilir.

Bu amaçla önce sıcaklık vektörü aşağıdaki gibi ifade edilir.

\[\begin{equation} T_{t=t_0+\Delta t}= T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.14} \end{equation}\]

Isı iletim matrisi ile sıcaklık vektörünün çarpımı, kütle matrisi ve ilgili terimler aşağıdaki gibi yaklaştırılır.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} = K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big) } {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.15} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M_{t=t_0+\Delta t} = M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.16} \end{equation}\]

Denklem \(\eqref{eq:2.4.14}\), Denklem \(\eqref{eq:2.4.15}\) ve Denklem \(\eqref{eq:2.4.16}\), Denklem \(\eqref{eq:2.4.13}\) içine yerleştirilip ikinci ve daha yüksek mertebeden terimler ihmal edildiğinde aşağıdaki denklem elde edilir.

\[\begin{equation} \bigg(\frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac {\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } { \partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big)} {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \bigg) \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \\\ = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.17} \end{equation}\]

Sol taraftaki katsayı matrisi aşağıdaki denklem kullanılarak ayrıca yaklaştırılır.

\[\begin{equation} K^{(i)} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac{\partial \big( K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \big)}{\partial T^{(i)}_{t=t_0+\Delta t}} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)} \label{eq:2.4.18} \end{equation}\]

Burada \(K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)}\) teğet rijitlik matrisidir.

Sonuç olarak \(t=t_0+\Delta t\) zamanındaki sıcaklık, aşağıdaki denklem kullanılarak yinelemeli hesaplamalar yapılarak elde edilebilir.

\[\begin{equation} K^{(i)} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.19} \end{equation}\]

Özellikle kararlı durum analizinde yinelemeli hesaplamalar aşağıdaki denklem kullanılarak yapılır.

\[ K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} = F_{t=\infty} - K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} \]
\[\begin{equation} T_{t=\infty}^{(i+1)} = T_{t=\infty}^{(i)} + \Delta{T}_{t=\infty}^{(i)} \label{eq:2.4.20} \end{equation}\]

Geçici analizde zaman ayrıklaştırması için örtük bir yöntem kullanıldığından, zaman artımı \(\Delta t\) seçimi genel olarak büyüklüğü açısından bir kısıtlamaya tabi değildir. Ancak zaman artımı \(\Delta t\) çok büyükse yakınsama için gereken yineleme sayısı artar. Genel olarak aşırı büyük bir zaman artımı \(\Delta t\), yineleme sayısını artırır. Uygulamada otomatik artım kontrolü artık vektörünün büyüklüğünü izler; yakınsama yavaşsa \(\Delta t\) azaltılır, yineleme sayısı azsa \(\Delta t\) artırılır (→ ayrıntılar için Adım Kontrolü bölümüne bakın).

İlgili Konular