Ana içeriğe geç

Doğrusal Olmayan İterasyon ve Zaman İntegrasyonu

FrontISTR, her adımın artım kontrolü içindeki her alt adımda doğrusal olmayan iterasyonları ve zaman integrasyonunu birleştirerek çözümü ilerletir. Bu sayfa, dıştaki adım kontrolü ile içteki doğrusal çözücü arasında bulunan iteratif yapıları açıklar: Newton-Raphson iterasyonları, temas iterasyonları, dinamik analiz için zaman integrasyonu ve geçici ısı iletiminde zaman ilerletme ile doğrusal olmayan iterasyon çerçevesi.

Genel Bakış

Bir adım içindeki doğrusal olmayan çözüm ve zaman integrasyonu, dıştan içe doğru birden çok döngüden oluşan iç içe bir yapıya sahiptir. Her katmanın rolü aşağıdaki gibidir.

Katman Rol Ana referans sayfası
Adım döngüsü Tüm analizi birden çok adıma böler ve sınır koşullarını, yükleri, teması ve eleman etkinleştirmeyi değiştirir. Adım Kontrolü
Alt adım döngüsü Bir adımı zaman artımlarına böler ve sabit artımlar ya da otomatik artımlar ve cutback kullanarak ilerletir. Adım Kontrolü
Zaman integrasyonu durum ilerletmesi Dinamik analizde ve geçici ısı iletiminde, önceki adımın durumundan bir sonraki zamandaki durumu elde eder. Bu sayfa
Temas durumu arama döngüsü Temas analizinde temas durumundaki (temas/ayrılma) değişiklikleri arar ve rijitlik matrisinin yapısını günceller. Bu sayfa
Artırılmış Lagrange dış iterasyonu ALAGRANGE temasında temas kısıtı doğruluğunu aşamalı olarak iyileştirir. Bu sayfa
Newton iterasyonu Doğrusal olmayan denge denklemlerini Newton-Raphson yöntemiyle iteratif olarak çözer. Bu sayfa
Doğrusal sistem çözümü Her Newton iterasyonunda teğet rijitlik matrisine dayalı doğrusal sistemi çözer. Çözücü ve Önkoşullandırma

Bu katmanlardan hangilerinin bulunduğu analiz türüne bağlıdır.

Analiz türü Zaman integrasyonu Temas durumu araması Dış iterasyon Newton iterasyonu
Doğrusal statik analiz — — — —
Doğrusal olmayan statik analiz (temassız) — — — Evet
Doğrusal olmayan statik analiz (SLAGRANGE teması) — Evet — Evet
Doğrusal olmayan statik analiz (ALAGRANGE teması) — Evet Evet Evet
Dinamik analiz, örtük Newmark-β — — Evet (doğrusal olmayan durumda)
Dinamik analiz, açık Merkezi fark — — —
Frekans yanıt analizi Mod süperpozisyonu — — —
Geçici ısı iletimi Crank-Nicolson / Geri Euler — — Evet (malzeme özellikleri sıcaklığa bağlı olduğunda)
Kararlı ısı iletimi — — — Evet (malzeme özellikleri sıcaklığa bağlı olduğunda)

Temas türünün ve algoritmasının nasıl seçileceği için Temas ve Gömme bölümüne bakın. Bu sayfa, seçilen algoritmanın iteratif bir döngü olarak nasıl düzenlendiğini açıklar.

Çözüm Şemasının Seçilmesi

İteratif yapı; seçilen analiz türünden (Analiz Türleri), doğrusal olmama durumunun (geometrik doğrusal olmama, malzeme doğrusal olmaması veya temas) varlığından ve temas algoritmasından (SLAGRANGE veya ALAGRANGE) otomatik olarak belirlenir. Kullanıcı, iterasyon sayılarının üst sınırlarını ve yakınsama kriterlerini doğrudan ayarlar.

Bu ayarlar düzenlenirken aşağıdaki yönergeler uygulanır.

  • Standart analizlerde iterasyon sayısının varsayılan üst sınırı genellikle yeterlidir. Yakınsaması zor bir problem yakınsamadan maksimum iterasyon sayısına ulaşırsa önce cutback (Adım Kontrolü) kullanın; üst sınırı yalnızca bu işlem yakınsamayı iyileştirmezse artırın.
  • Yakınsama kriterlerini analiz kararlılığı ile hesaplama süresi arasında denge kuracak şekilde ayarlayın. Daha sıkı kriterler denge doğruluğunu artırır ancak iterasyon sayısını yükseltir. Temas analizlerinde ve Lagrange çarpanlarını içeren analizlerde, yer değiştirme artımı veya Lagrange kriterlerinin artık kriteriyle birlikte kullanılması kararlılığı iyileştirebilir.
  • Dinamik analizde zaman integrasyonu parametreleri (Newmark-β katsayıları) için standart bir değer kombinasyonuyla başlayın ve titreşim yanıtının sayısal sönüm özelliklerini değiştirirken bunları ayarlayın.
  • Geçici ısı iletiminde zaman integrasyonu şeması için, sıcaklık değişimlerinin düzgün olduğu problemlerde Crank-Nicolson yöntemini; keskin değişimlerin veya uzun süreli kararlılığın daha önemli olduğu durumlarda Geri Euler yöntemini kullanın.

Statik Analizde Newton-Raphson İterasyonu

Doğrusal olmayan statik analizde, geometrik veya malzeme doğrusal olmamasını içeren denge denklemleri Newton-Raphson yöntemiyle iteratif olarak çözülür. Her iterasyon aşağıdaki şekilde ilerler.

  1. Mevcut çözümde artık vektörünü \(\boldsymbol{R}\) değerlendirin.
  2. Teğet rijitlik matrisi \(\boldsymbol{K}_T\)'yi oluşturun.
  3. Doğrusal sistem \(\boldsymbol{K}_T \Delta \boldsymbol{u} = -\boldsymbol{R}\)'yi çözerek yer değiştirme düzeltmesi \(\Delta \boldsymbol{u}\)'yu elde edin.
  4. Çözümü \(\boldsymbol{u} \leftarrow \boldsymbol{u} + \Delta \boldsymbol{u}\) olarak güncelleyin.
  5. Yakınsama kriterleriyle karşılaştırın. Yakınsama sağlanmışsa iterasyonu sonlandırın; aksi halde 1. adıma dönün.

Doğrusal çözücü, doğrusal sistem çözümünü (3. adım) gerçekleştirir. Çözücü ve önkoşullandırıcı seçimi için Çözücü ve Önkoşullandırma bölümüne bakın.

İterasyon, !STEP adım kontrolü parametreleriyle denetlenir. Başlıca kontrol değerleri aşağıdaki gibidir.

Rol Parametre
İterasyon sayısının üst sınırı. Bu sınıra yakınsama olmadan ulaşılırsa alt adım cutback işlemine tabi tutulur. MAXITER
Göreli artık normuna dayalı yakınsama kriteri. CONVERG
Yer değiştirme düzeltmesinin norm oranına dayalı yakınsama kriteri. Kararlılığı iyileştirmek için artık kriteriyle birlikte kullanılır. CONVERG_DDISP
Artık normu için ıraksama kriteri. Bu değer aşıldığında iterasyon sonlandırılır. MAXRES

Adım Kontrolü içindeki otomatik artım ve cutback kararlarının başvurduğu maksimum Newton iterasyon sayısı, bu sayfada açıklanan Newton iterasyonlarının sayısıdır. Otomatik artım kontrolü, az sayıda iterasyonda yakınsayan bir alt adımdan sonra zaman artımını artırır; çok sayıda iterasyon gerektiren bir alt adımdan sonra azaltır.

Statik Analizde Temas İterasyonu

Temas analizinde, temas yüzeylerindeki temas, ayrılma ve kayma nedeniyle iterasyon sırasında temas durumu değişir; bu nedenle Newton iterasyonu temas durumu güncellemeleriyle birleştirilir. Yapı, temas çözüm algoritmasına bağlıdır.

Her iki algoritma da en dış düzeye bir temas durumu arama döngüsü yerleştirir. Bu döngünün her geçişinde, iç Newton iterasyonu yakınsadığında temas durumu (temas/ayrılma) yeniden değerlendirilir. Durum değişmişse rijitlik matrisinin yapısı güncellenir ve iç iterasyon yeniden çalıştırılır. Temas durumu önceki geçişe göre değişmediğinde ve temas yakınsama kriterleri (temas kuvveti ve Lagrange çarpanı kriterleri) sağlandığında döngü sona erer. Geçiş sayısının üst sınırı !STEP içindeki MAXCONTITER ile belirtilir.

SLAGRANGE temasında temas serbestlik dereceleri standart Lagrange çarpanı yöntemiyle doğrusal sisteme dahil edilir; böylece Newton iterasyonunun doğrudan temas durumu arama döngüsünün içine yerleştirildiği iki katmanlı bir yapı oluşur. Artırılmış Lagrange iterasyonu yoktur.

ALAGRANGE temasında, temas durumu arama döngüsünün içine artırılmış Lagrange iterasyonu eklenir ve Newton iterasyonu bunun içinde gerçekleştirilir; böylece üç katmanlı bir yapı oluşur. Her artırılmış Lagrange iterasyonunda temas kısıtı, ceza terimi ile Lagrange çarpanının birleşimi kullanılarak yeniden değerlendirilir ve kısıt doğruluğu aşamalı olarak iyileştirilir. Artırılmış Lagrange iterasyonlarının üst sınırı !CONTACT_ALGO içindeki AUGITER ile belirtilir.

Temas iterasyonu için kontrol değerleri aşağıdaki gibidir.

Rol Belirtildiği yer
Temas durumu arama döngüsü iterasyon sayısının üst sınırı. Hem SLAGRANGE hem de ALAGRANGE için kullanılır. !STEP MAXCONTITER
Artırılmış Lagrange iterasyonu sayısının üst sınırı. Yalnızca ALAGRANGE için kullanılır. !CONTACT_ALGO AUGITER
Lagrange çarpanındaki düzeltme için yakınsama kriteri. Temas içeren analizlerde artık kriteriyle birlikte kullanılır. !STEP CONVERG_LAG

Adım Kontrolü içindeki otomatik artım kararlarının başvurduğu temas iterasyonu sayısı, temas durumu güncellemeleri dahil olmak üzere bu sayfada açıklanan iterasyonların sayısıdır. Temas ve ayrılmanın sık meydana geldiği analizler daha fazla temas iterasyonu gerektirme eğilimindedir; bu da otomatik artım ve cutback kararlarını etkiler. Temas türleri, çift tanımları ve algoritma seçimi için Temas ve Gömme bölümüne bakın. Temas serbestlik derecelerini içeren doğrusal sistemin nasıl çözüleceği için Çözücü ve Önkoşullandırma bölümüne bakın.

Dinamik Analizde Zaman İntegrasyonu (Örtük Yöntem)

Dinamik analizin örtük yöntemi, her zaman adımında bir sonraki zamandaki yer değiştirme, hız ve ivmeyi ilişkilendirmek için Newmark-β yöntemini kullanır ve bu ilişkileri hareket denklemiyle birleştirerek \(t + \Delta t\) zamanındaki durumu elde eder. Zaman adımı \(\Delta t\) üzerindeki kararlılık kısıtı hafiftir; bu nedenle düşük frekanslı bileşenlerin baskın olduğu yapısal yanıtlar verimli biçimde çözülebilir.

Aşağıdaki iki zaman integrasyonu parametresi kullanılır.

Parametre Rol
\(\beta\) Yer değiştirmenin zamansal enterpolasyonuyla ilişkili katsayı.
\(\gamma\) Hızın zamansal enterpolasyonuyla ilişkili katsayı.

\(\beta = 1/4\) ve \(\gamma = 1/2\) kombinasyonuna ortalama ivme yöntemi denir; bu, koşulsuz kararlı ve sayısal sönümü olmayan standart bir seçimdir. Sayısal sönüm eklemek için \(\gamma\) değerini \(1/2\)'den büyük seçin. Parametre kombinasyonlarının, kararlılığın ve hata özelliklerinin matematiksel ayrıntıları için teori kılavuzuna bakın.

Doğrusal olmama (geometrik doğrusal olmama, malzeme doğrusal olmaması veya temas) bulunduğunda, her zaman adımında Newton iterasyonu gerçekleştirilir; iterasyon içinde doğrusal sistem çözülür ve durum güncellenir. Yakınsama kriterleri, statik analizle ortak olan CONVERG ve ilgili değerleri kullanır. Temas içeren dinamik analizde, Statik Analizde Temas İterasyonu ile aynı iteratif yapı her zaman adımına dahil edilir.

Dinamik analizde zaman adımı esas olarak !STEP zaman koşullarıyla kontrol edilir. Sabit artımlarda !STEP, zaman adımını DTIME, adım süresini ise ETIME olarak belirtir. !DYNAMIC içindeki n_step ve t_delta değerleri, !STEP atlandığında ve geriye dönük uyumluluk için varsayılan olarak ele alınır. Doğrusal olmayan örtük yöntemde INC_TYPE=AUTO ile !STEP, otomatik artımları ve cutback işlemini etkinleştirerek Newton ve temas iterasyonlarının durumuna göre zaman adımını artırır veya azaltır. Sabit ya da otomatik artımlar kullanılsın, zaman adımını hem yakınsamayı hem de gereken doğruluğu dikkate alarak ayarlayın.

Dinamik Analizde Zaman İntegrasyonu (Açık Yöntem)

Dinamik analizin açık yöntemi, yalnızca önceki zamandaki yer değiştirme, hız ve ivme bilgilerini kullanarak bir sonraki zamandaki durumu doğrudan hesaplamak için merkezi fark yöntemini kullanır. Eşzamanlı denklemler çözülmediğinden adım başına hesaplama maliyeti düşüktür. Doğrusal olmama dahil edildiğinde bile her zaman adımı Newton iterasyonu olmadan tek aşamalı bir güncellemedir.

Zaman adımı, sistemin minimum doğal periyoduna dayalı bir kararlılık koşulunun (CFL koşulu) getirdiği bir üst sınıra sahiptir. Bu sınırı aşan bir zaman adımı sayısal çözümün ıraksamasına neden olur; bu nedenle örtük yöntemde mümkün olan büyük zaman adımları kullanılamaz. Açık yöntem, küçük zaman adımlarının doğası gereği gerekli olduğu darbe, dalga yayılımı ve yüksek hızlı temas gibi olaylarda avantajlıdır.

Temas bulunduğunda, temas kısıtlarını uygulamak için Forward Increment Lagrange yöntemi kullanılır. Temas kuvvetleri, açık yöntemin tek aşamalı güncellemesiyle tutarlı biçimde değerlendirilir.

Frekans Yanıt Analizi için Çözüm Yöntemi

Frekans yanıt analizi, mod süperpozisyonu yöntemini kullanarak frekans alanındaki periyodik kararlı durum yanıtını doğrudan elde eder. Uyarma frekansını değiştirerek yanıtı değerlendirir ve iterasyonlarla bir zaman geçmişini izlemeye gerek duymaz. Ne doğrusal olmayan iterasyonlar ne de zaman integrasyonu gerçekleştirilir.

Frekans yanıt analizi yapılmadan önce aynı sistem için modal analiz gerçekleştirilmiş ve gerekli sayıda doğal mod çıkarılmış olmalıdır. Yalnızca doğrusal modeller desteklenir; geometrik veya malzeme doğrusal olmaması etkin olduğunda analiz gerçekleştirilemez. Bu analiz türünün konumu için Analiz Türleri bölümüne bakın.

Geçici Isı İletiminde Zaman İlerlemesi ve Doğrusal Olmayan İterasyon

Geçici ısı iletimi, !HEAT içinde tamamlanan kendi zaman döngüsüne sahiptir. Zaman adımı, yapısal analizin !STEP ve !AUTOINC_PARAM yolundan ayrı bir yol üzerinden kontrol edilir ve malzeme özellikleri sıcaklığa bağlı olduğunda her zaman adımı içinde doğrusal olmayan iterasyon gerçekleştirilir.

Zaman integrasyonu şeması !HEAT içindeki \(\beta\) parametresiyle seçilir.

\(\beta\) Şema Özellikler
0.5 Crank-Nicolson yöntemi İkinci dereceden doğruluk. Sıcaklık değişimlerinin düzgün olduğu problemler için uygundur.
1.0 Geri Euler yöntemi Birinci dereceden doğruluk. Koşulsuz kararlıdır ve uzun süreli analizler ile keskin sıcaklık değişimleri için kararlılık sağlar.

Zaman adımı; başlangıç zaman adımı, minimum zaman adımı ve adım başına maksimum sıcaklık değişimi birleştirilerek uyarlamalı olarak kontrol edilir. Bir zaman adımındaki hesaplamadan sonra sıcaklık değişimi DELTMX değerini aşarsa zaman adımı küçültülür ve adım yeniden hesaplanır. Zaman adımı minimum zaman adımı DTMIN değerinin altına düşerse analiz durdurulur.

Malzeme özellikleri sıcaklığa bağlı olduğunda, her zaman adımı içinde doğrusal olmayan iterasyon gerçekleştirilir. İterasyon aşağıdaki şekilde kontrol edilir.

Rol Parametre
Doğrusal olmayan iterasyonların üst sınırı. !HEAT ITMAX
Yakınsama kriteri. !HEAT EPS

Kararlı ısı iletimi zaman adımlaması kullanmaz; yalnızca malzeme özellikleri sıcaklığa bağlı olduğunda doğrusal olmayan iterasyon gerçekleştirilir. Isı iletimi analizinin zaman kontrolü yapısal analizin !STEP ayarından bağımsız olduğundan, zaman adımını ayarlarken !HEAT ayarlarını kontrol edin.

İlgili Konular