Ana içeriğe geç

İç Sanal İşin Ayrıklaştırılması

Artımlı Analiz Çerçevesi'nde verilen \(t + \Delta t\) anındaki sanal iş denklemi, referans konfigürasyonunun seçimine bağlı olarak Updated Lagrange ve Total Lagrange formülasyonları biçiminde iki şekil alır. Bu bölümde Şekil Fonksiyonları ve Sonlu Eleman Yaklaşımı ile Şekil Fonksiyonlarının Uzaysal Türevleri'nde tanıtılan sonlu eleman yaklaşımı kullanılarak her iki formülasyonun iç sanal işi uzaysal olarak ayrıklaştırılır ve eleman iç kuvvet vektörleri \(\boldsymbol{q}^e\) (UL) ile \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL) elde edilir.

\(e\) elemanı için oluşturan düğümler \(\alpha = 1, \ldots, n_e\), yer değiştirmeler \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\) olsun ve eleman düğüm yer değiştirme vektörü \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) olarak düzenlensin. Sanal yer değiştirme \(\delta \boldsymbol{u}^e\) aynı sırada tanımlanır. Eleman içindeki yer değiştirme, şekil fonksiyonlarıyla \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\) olarak enterpole edilir.

Updated Lagrange Formülasyonunda İç Sanal İş

Updated Lagrange formülasyonunda \(t\) anındaki güncel konfigürasyon \({}^{t}\Omega\) referans konfigürasyonu olarak kullanılır ve iç sanal iş, Cauchy gerilmesi \(\boldsymbol{\sigma}\) ile Almansi geriniminin doğrusal kısmı \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) cinsinden

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

şeklinde yazılır.

\(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\)'nin her bileşeni, güncel-konfigürasyon koordinatları \(\boldsymbol{x}\) kullanılarak şekil fonksiyonu türevleri \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) ve düğüm sanal yer değiştirmeleri \(\delta u^e_{i\alpha}\)'nın doğrusal birleşimi olarak ifade edilebilir. Voigt gösteriminde bu

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

biçiminde toplanabilir.

Düğüm bloğu \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\), \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) bileşenleri Voigt kuralına göre \(6 \times 3\) bir matrise yerleştirilerek oluşturulur ve \(\boldsymbol{B}_L\), UL formülasyonu için gerinim-yer değiştirme matrisidir. Bunun iç sanal işe yerleştirilip \(\delta \boldsymbol{u}^e\) dışarı alınmasıyla

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

elde edilir.

\(\boldsymbol{q}^e\) için, düğüm bloğu \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\), \(\Omega^e\) elemanının oluşturan düğüm \(\alpha\) üzerine etkiyen iç kuvvetidir.

Total Lagrange Formülasyonunda İç Sanal İş

Total Lagrange formülasyonunda başlangıç konfigürasyonu \(\Omega_0\) referans konfigürasyonu olarak kullanılır ve iç sanal iş, ikinci Piola-Kirchhoff gerilmesi \(\boldsymbol{S}\) ile Green-Lagrange gerinimi \(\boldsymbol{E}\) cinsinden

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

şeklinde yazılır.

Varyasyon \(\delta \boldsymbol{E}\), sanal yer değiştirmede doğrusal bir terim ile güncel yer değiştirme gradyanı \(\partial u_k/\partial X_j\) ile çarpımları içeren doğrusal olmayan bir terime ayrılır:

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

Doğrusal terim, UL formülasyonundakiyle aynı yerleştirme kuralı \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\)'ye uygulanarak ve düğüm bloğu \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) elde edilerek yazılabilir:

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

Referans konfigürasyonunun farklı olması nedeniyle yalnızca bileşen türevler \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\)'den \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\)'ye değişir; UL formülasyonundaki aynı sembol kullanılır. Doğrusal olmayan terim, güncel yer değiştirme gradyanı \(\partial u_k/\partial X_j\) ile \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) çarpımlarını kullanır ve bunlar Voigt kuralına göre düzenlenerek düğüm bloğu \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\) oluşturulur:

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

Böylece \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\) olur ve \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\), TL formülasyonu için gerinim-yer değiştirme matrisidir. Bunun iç sanal işe yerleştirilmesiyle

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

elde edilir.

Düğüm bloğu \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\), \(\Omega^e_0\) elemanının oluşturan düğüm \(\alpha\) üzerine etkiyen iç kuvvetidir.

UL/TL Karşılığı ve Hesaplama Akışı

Updated Lagrange ve Total Lagrange formülasyonlarındaki eleman iç kuvvet vektörlerinin karşılığı aşağıdaki gibidir.

Öğe Updated Lagrange formülasyonu Total Lagrange formülasyonu
Referans konfigürasyonu Güncel konfigürasyon \({}^{t}\Omega^e\) Başlangıç konfigürasyonu \(\Omega^e_0\)
Gerilme tensörü Cauchy gerilmesi \(\boldsymbol{\sigma}\) İkinci PK gerilmesi \(\boldsymbol{S}\)
Gerinim varyasyonu \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) \(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
B matrisi \(\boldsymbol{B}_L\) (\(\partial N/\partial x\)) \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) (\(\partial N/\partial X\), \(\partial u/\partial X\))
Eleman iç kuvveti \(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) \(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

Her ikisi de aynı yordamla işlenir: şekil fonksiyonlarının uzaysal türevlerinden \(\boldsymbol{B}_L\) oluşturulur; TL formülasyonunda güncel yer değiştirme gradyanından \(\boldsymbol{B}_{NL}\) oluşturulup eklenir; gerilme (\(\boldsymbol{\sigma}\) veya \(\boldsymbol{S}\)) kurucu yasaya göre güncellenir; ardından \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) veya \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) integrasyon noktalarında eleman bölgesi üzerinde sayısal olarak integre edilir (Sayısal İntegrasyon). Referans konfigürasyonunun değiştirilmesi (düğüm koordinatları ve \(\boldsymbol{B}\) matrisinin oluşturulması) ile gerilme tensörünün değiştirilmesi dışında işlem ortaktır; bu nedenle FrontISTR her iki formülasyonun iç kuvvet hesaplamalarını ortak alt programlarla uygular. Eleman iç kuvvet vektörleri \(\boldsymbol{q}^e\) ve \(\boldsymbol{Q}^e\)'nin global iç kuvvet vektörüne montajı Dış Sanal İş ve Global Denklemlerin Montajı bölümünde ele alınır.

İlgili Konular