Lewati ke isi

Diskretisasi Kerja Virtual Gaya Internal

Persamaan kerja virtual pada waktu \(t + \Delta t\) yang disajikan dalam Kerangka Analisis Inkremental memiliki dua bentuk, yaitu formulasi Updated Lagrange dan Total Lagrange, bergantung pada pemilihan konfigurasi referensi. Dalam bab ini, pendekatan elemen hingga yang diperkenalkan pada Fungsi Bentuk dan Pendekatan Elemen Hingga dan Turunan Spasial Fungsi Bentuk digunakan untuk mendiskretisasi secara spasial kerja virtual internal dari kedua formulasi dan memperoleh vektor gaya internal elemen \(\boldsymbol{q}^e\) (UL) dan \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL).

Untuk elemen \(e\), misalkan node penyusunnya adalah \(\alpha = 1, \ldots, n_e\); perpindahannya adalah \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\), dan vektor perpindahan nodal elemen disusun sebagai \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\). Perpindahan virtual \(\delta \boldsymbol{u}^e\) didefinisikan dengan urutan yang sama. Perpindahan di dalam elemen diinterpolasi oleh fungsi bentuk sebagai \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\).

Kerja Virtual Internal dalam Formulasi Updated Lagrange

Dalam formulasi Updated Lagrange, pada waktu \(t\) konfigurasi saat ini \({}^{t}\Omega\) digunakan sebagai konfigurasi referensi, dan kerja virtual internal dinyatakan menggunakan tegangan Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) dan bagian linear regangan Almansi \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) sebagai

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Setiap komponen \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) dapat dinyatakan, dengan menggunakan koordinat konfigurasi saat ini \(\boldsymbol{x}\), sebagai kombinasi linear dari turunan fungsi bentuk \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) dan perpindahan virtual nodal \(\delta u^e_{i\alpha}\). Dalam notasi Voigt, ini dapat dikumpulkan menjadi

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

Blok nodal \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) dibentuk dengan menyusun \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) sesuai konvensi Voigt menjadi matriks \(6 \times 3\), dan \(\boldsymbol{B}_L\) merupakan matriks regangan-perpindahan untuk formulasi UL. Mensubstitusikan ini ke dalam kerja virtual internal dan mengeluarkan \(\delta \boldsymbol{u}^e\) sebagai faktor memberikan

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

Untuk \(\boldsymbol{q}^e\), blok nodal \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) adalah gaya internal elemen \(\Omega^e\) yang bekerja pada node penyusun \(\alpha\).

Kerja Virtual Internal dalam Formulasi Total Lagrange

Dalam formulasi Total Lagrange, konfigurasi awal \(\Omega_0\) digunakan sebagai konfigurasi referensi, dan kerja virtual internal dinyatakan menggunakan tegangan Piola-Kirchhoff kedua \(\boldsymbol{S}\) dan regangan Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) sebagai

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

Variasi \(\delta \boldsymbol{E}\) dipisahkan menjadi suku yang linear terhadap perpindahan virtual dan suku nonlinear yang mengandung hasil kali dengan gradien perpindahan saat ini \(\partial u_k/\partial X_j\):

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

Suku linear dapat ditulis dengan menerapkan aturan penyusunan yang sama seperti pada formulasi UL terhadap \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\), sehingga diperoleh blok nodal \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\):

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

Karena konfigurasi referensinya berbeda, hanya turunan penyusunnya yang berubah dari \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) menjadi \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\); simbol yang sama dengan formulasi UL digunakan. Suku nonlinear menggunakan hasil kali gradien perpindahan saat ini \(\partial u_k/\partial X_j\) dan \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\), yang disusun sesuai konvensi Voigt untuk membentuk blok nodal \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\):

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

Dengan demikian, \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\), dan \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) adalah matriks regangan-perpindahan untuk formulasi TL. Mensubstitusikan ini ke dalam kerja virtual internal memberikan

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

Blok nodal \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) adalah gaya internal elemen \(\Omega^e_0\) yang bekerja pada node penyusun \(\alpha\).

Korespondensi UL/TL dan Alur Komputasi

Vektor gaya internal elemen dalam formulasi Updated Lagrange dan Total Lagrange saling berkorespondensi sebagai berikut.

Item Formulasi Updated Lagrange Formulasi Total Lagrange
Konfigurasi referensi Konfigurasi saat ini \({}^{t}\Omega^e\) Konfigurasi awal \(\Omega^e_0\)
Tensor tegangan Tegangan Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) Tegangan PK kedua \(\boldsymbol{S}\)
Variasi regangan \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) \(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
Matriks B \(\boldsymbol{B}_L\) (\(\partial N/\partial x\)) \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) (\(\partial N/\partial X\), \(\partial u/\partial X\))
Gaya internal elemen \(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) \(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

Keduanya diproses dengan prosedur yang sama: membentuk \(\boldsymbol{B}_L\) dari turunan spasial fungsi bentuk; pada formulasi TL, membentuk dan menambahkan \(\boldsymbol{B}_{NL}\) dari gradien perpindahan saat ini; memperbarui tegangan (\(\boldsymbol{\sigma}\) atau \(\boldsymbol{S}\)) sesuai hukum konstitutif; dan mengintegrasikan secara numerik \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) atau \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) pada domain elemen di titik integrasi (Integrasi Numerik). Selain pergantian konfigurasi referensi (koordinat nodal dan pembentukan matriks \(\boldsymbol{B}\)) serta penggantian tensor tegangan, pemrosesannya sama, sehingga FrontISTR mengimplementasikan perhitungan gaya internal untuk kedua formulasi menggunakan subrutin bersama. Perakitan vektor gaya internal elemen \(\boldsymbol{q}^e\) dan \(\boldsymbol{Q}^e\) ke dalam vektor gaya internal global dibahas dalam Kerja Virtual Gaya Eksternal dan Perakitan Persamaan Global.

Topik Terkait