Lewati ke isi

Penanganan Kondisi Batas Geometrik

Metode Newton-Raphson menyelesaikan persamaan linear \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) pada setiap iterasi, tetapi kondisi batas geometrik (kendala perpindahan) belum dimasukkan ke dalam persamaan ini. Bab ini menunjukkan cara memodifikasi matriks kekakuan \(\boldsymbol{K}\) dan vektor residual \(\boldsymbol{R}\) untuk derajat kebebasan yang dikenai kendala perpindahan \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) agar perpindahan setelah iterasi mencapai nilai yang ditentukan. Kendala multi-titik (MPC) dan kendala nonlinear yang terkait dengan kontak ditangani secara terpisah; lihat Kendala Multi-Titik dan Kontak.

Kebijakan Mempertahankan Kendala Perpindahan sebagai Variabel Tak Diketahui

Perpindahan node yang dikenai kondisi batas geometrik tidak lagi merupakan variabel tak diketahui, melainkan ditetapkan pada nilai yang ditentukan \(\bar{u}_i\). Derajat kebebasan ini dapat diperlakukan sebagai konstanta dan dieliminasi dari persamaan linear \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\); namun, FrontISTR memberlakukan kendala dengan memodifikasi \(\boldsymbol{K}\) dan \(\boldsymbol{R}\) sambil mempertahankan derajat kebebasan yang dikendalai di dalam vektor koreksi \(d\boldsymbol{u}\) dengan cara yang sama seperti derajat kebebasan lainnya.

Dengan pendekatan ini, dimensi matriks koefisien dan urutan derajat kebebasan tidak berubah bergantung pada ada tidaknya kendala, sehingga tidak perlu mengeliminasi variabel dan mengemas ulang baris serta kolom yang kosong. Karena pengemasan ulang semacam itu merepotkan dalam implementasi yang menyimpan matriks koefisien dalam bentuk matriks sparse, FrontISTR mengadopsi pendekatan terakhir, yaitu kendala diberlakukan hanya dengan memperbarui matriks koefisien dan ruas kanan.

Nilai Target untuk Koreksi Newton-Raphson

Untuk derajat kebebasan dengan kendala perpindahan \(i\), misalkan koreksi \(du_i\) yang diperoleh dalam iterasi Newton-Raphson adalah

\[ du_i = d\bar{u}_i \equiv \begin{cases} \bar{u}_i & (\text{iterasi pertama}) \\ 0 & (\text{iterasi kedua dan seterusnya}) \end{cases} \]

Modifikasi \(\boldsymbol{K}\) dan \(\boldsymbol{R}\) agar koreksi mengambil nilai ini. Dengan demikian, inkremen perpindahan mencapai nilai yang ditentukan \(\bar{u}_i\) pada iterasi pertama; mulai iterasi kedua dan seterusnya, koreksi menjadi \(0\) dan nilai yang ditentukan dipertahankan.

Prosedur Memodifikasi Matriks dan Vektor Residual

Nilai target yang dijelaskan pada bagian sebelumnya dicapai melalui dua modifikasi berikut sambil mempertahankan bentuk persamaan linear \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\).

  1. Diagonalisasi baris \(i\): Ganti suku diagonal \(K_{ii}\), yaitu koefisien \(du_i\), menjadi \(1\), ganti semua koefisien lain \(K_{ij}\ (j \not= i)\) menjadi \(0\), dan tetapkan ruas kanan menjadi \(R_i \to d\bar{u}_i\). Persamaan pada baris \(i\) kemudian menjadi \(du_i = d\bar{u}_i\).
  2. Pemindahan dari baris \(j(\not= i)\): Untuk setiap baris \(j(\not= i)\), jika \(K_{ji} \not= 0\), pindahkan suku \(K_{ji} du_i = K_{ji} d\bar{u}_i\) ke ruas kanan. Artinya, kurangi \(K_{ji} d\bar{u}_i\) dari ruas kanan dan tetapkan koefisien \(K_{ji}\) dari \(du_i\) menjadi \(0\).

Dalam bentuk komponen, persamaan sebelum dan sesudah modifikasi berkorespondensi sebagai berikut.

\[ \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & K_{1i} & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & K_{2i} & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ K_{i1} & K_{i2} & \cdots & K_{ii} & \cdots & K_{iN} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & K_{Ni} & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 \\ R_2 \\ \vdots \\ R_i \\ \vdots \\ R_N \end{bmatrix} \]
\[ \Longrightarrow \quad \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & 0 & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & 0 & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & 0 & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 - K_{1i} d\bar{u}_i \\ R_2 - K_{2i} d\bar{u}_i \\ \vdots \\ d\bar{u}_i \\ \vdots \\ R_N - K_{Ni} d\bar{u}_i \\ \end{bmatrix} \]

Misalkan matriks koefisien dan ruas kanan setelah modifikasi masing-masing dinyatakan oleh \(\tilde{\boldsymbol{K}}, \tilde{\boldsymbol{R}}\). Persamaan linear yang akhirnya diselesaikan adalah

\[ \tilde{\boldsymbol{K}}\, d\boldsymbol{u} = \tilde{\boldsymbol{R}} \]

Jika terdapat beberapa derajat kebebasan yang dikendalai, modifikasi 1 dan 2 di atas diterapkan secara berurutan pada setiap derajat kebebasan yang dikendalai \(i\).

Lingkup Pemrosesan dalam Implementasi Matriks Sparse

Dalam implementasi, matriks koefisien \(\boldsymbol{K}\) disimpan dalam bentuk matriks sparse. Oleh karena itu, pemrosesan baris \(j(\not= i)\) pada prosedur 2 di bagian sebelumnya hanya dilakukan untuk baris yang memiliki entri tak nol pada kolom \(i\), yaitu untuk derajat kebebasan node yang terhubung melalui elemen ke derajat kebebasan yang dikendalai \(i\). Untuk derajat kebebasan yang tidak terhubung, \(K_{ji} = 0\), sehingga pemindahan suku tidak mengubah ruas kanan. Pembatasan ini memungkinkan pemrosesan kendala diselesaikan hanya dengan operasi lokal relatif terhadap jumlah total node.

Topik Terkait