Lewati ke isi

Notasi Tensor dan Dasar-Dasar Matematika

Bab ini merangkum konvensi notasi tensor, notasi indeks, dan notasi Voigt yang digunakan pada bab-bab selanjutnya dalam Manual Teori FrontISTR. Di sini hanya dijelaskan aturan notasi murni yang tidak bergantung pada definisi besaran fisik. Konvensi notasi yang bergantung pada konfigurasi yang terkait dengan gerak kontinum (konfigurasi referensi/saat ini), seperti pembedaan huruf besar dan kecil serta turunan material dan spasial, diberikan dalam Gerak, Deformasi, dan Regangan, tempat konsep konfigurasi diperkenalkan.

Notasi Tensor

Notasi Vektor dan Tensor dengan Huruf Tebal

Sebagai konvensi tipografis, besaran skalar dan komponen vektor serta tensor ditulis dengan huruf biasa (seperti \(\rho\) dan \(x_i\)), sedangkan besaran vektor dan tensor itu sendiri ditulis dengan huruf tebal (seperti \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\), dan \(\boldsymbol{\sigma}\)).

Konvensi Penjumlahan Einstein

Kecuali dinyatakan lain, konvensi penjumlahan Einstein digunakan: bila indeks yang sama muncul dua kali dalam satu suku, penjumlahan dilakukan terhadap indeks tersebut. Sebagai contoh,

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

dan komponen \(i,j\) dari hasil kali \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) antara tensor \(\boldsymbol{A}\) dan \(\boldsymbol{B}\) adalah

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

Sebagai konvensi indeks, jika \(i, j, k, l, \ldots\) digunakan sebagai indeks tanpa kualifikasi lebih lanjut, indeks tersebut menyatakan indeks yang berkaitan dengan derajat kebebasan (\(1, 2, 3\) dalam tiga dimensi), sedangkan huruf Yunani kecil \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) yang digunakan sebagai indeks menyatakan indeks yang berkaitan dengan node-node pembentuk suatu elemen.

Hasil Kali Dalam, Transpos, dan Hasil Kali Tensor

Transpos tensor \(\boldsymbol{A}\) dinyatakan sebagai \(\boldsymbol{A}^T\). Hasil kali dalam (kontraksi ganda) dari tensor orde dua \(\boldsymbol{A}\) dan \(\boldsymbol{B}\) ditulis sebagai

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

Hasil kali dalam vektor \(\boldsymbol{a}\) dan \(\boldsymbol{b}\) adalah \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\), dan hasil kali tensornya adalah \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\).

Notasi Voigt

Tegangan dan regangan adalah tensor simetris orde dua terhadap derajat kebebasan, sedangkan koefisien yang merepresentasikan hubungan linear di antaranya membentuk tensor orde empat. Menangani semuanya secara langsung dalam program tidak menguntungkan dari sisi biaya komputasi dan implementasi (array multidimensi dan loop bertingkat yang dalam). Karena itu, program elemen hingga umumnya memanfaatkan simetri dan memampatkan tegangan dan regangan menjadi vektor kolom, serta tensor elastisitas orde empat menjadi matriks dua dimensi. Representasi ini disebut notasi Voigt.

Selanjutnya, representasi matriks atau vektor dari besaran tensor \(\boldsymbol{A}\) dinyatakan dengan \(\hat{A}\) untuk membedakannya dari tensor aslinya.

Representasi Vektor Tegangan dan Regangan

Untuk tensor tegangan simetris \(\boldsymbol{\sigma}\) dan tensor regangan \(\boldsymbol{\varepsilon}\), dalam dua dimensi,

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

dalam tiga dimensi,

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

keduanya ditangani sebagai vektor kolom seperti ditunjukkan di atas. Aturan yang sama berlaku untuk besaran turunan seperti variasi dan diferensial. Perhatikan bahwa komponen geser pada sisi regangan memiliki faktor 2 (sisi tegangan tidak). Karena ketidaksimetrian ini, hasil kali dalam tensor dapat ditulis secara ringkas sebagai hasil kali dalam vektor

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

Dalam implementasi, faktor 2 pada komponen regangan geser mudah ditangani secara keliru, sehingga konvensi "tidak ada pada tegangan / ada pada regangan" harus selalu diingat. Konvensi Voigt yang sama persis diterapkan pada besaran dalam konfigurasi referensi (tegangan Piola-Kirchhoff kedua \(\boldsymbol{S}\) dan regangan Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\)).

Representasi Matriks Tensor Orde Empat

Untuk hubungan linear antara tegangan dan regangan, \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (dalam bentuk komponen, \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)), dengan menggunakan simetri \(\boldsymbol{\varepsilon}\) diperoleh

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

Dalam tiga dimensi, dengan menyusun \(\tilde{C}\) sebagai matriks material 6×6 \(\hat{\tilde{C}}\), hubungan tensor semula dapat dinyatakan sebagai

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

Selanjutnya dalam manual ini, kecuali dinyatakan lain, matriks material dinyatakan dengan \(D\) (atau \(\hat{C}\)). Untuk komponen spesifik pada elastisitas linear isotropik, lihat Elastisitas Linear.

Konvensi Operator Diferensial

Operator Gradien Simetris

Operator gradien simetris \(\nabla_S\) untuk medan vektor \(\boldsymbol{u}\) didefinisikan sebagai

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

Dalam bentuk komponen, \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\). Regangan deformasi infinitesimal \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) dapat dinyatakan secara ringkas dengan operator ini. Pembedaan konfigurasi (referensi/saat ini) terhadap gradien yang diambil pada deformasi hingga dibahas dalam Gerak, Deformasi, dan Regangan.

Turunan Material terhadap Waktu

Turunan material terhadap waktu dari suatu besaran \(A\) (turunan waktu yang mengikuti titik material yang sama) dinyatakan dengan titik superskrip, \(\dot{A}\):

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

Kecepatan dan percepatan mengikuti konvensi ini.

Topik Terkait