Przejdź do treści

Notacja tensorowa i podstawy matematyczne

W tym rozdziale zebrano konwencje notacji tensorowej, notacji indeksowej i notacji Voigta używane w kolejnych rozdziałach Podręcznika teorii FrontISTR. Opisano tu wyłącznie czyste reguły zapisu, które nie zależą od definicji wielkości fizycznych. Konwencje zapisu zależne od konfiguracji związanej z ruchem ośrodka ciągłego (konfiguracja odniesienia/bieżąca), takie jak rozróżnienie wielkich i małych liter oraz pochodnych materialnych i przestrzennych, przedstawiono w rozdziale Ruch, deformacja i odkształcenie, gdzie wprowadzono pojęcie konfiguracji.

Notacja tensorowa

Wektory i tensory zapisywane pogrubieniem

Jako konwencję typograficzną wielkości skalarne oraz składowe wektorów i tensorów zapisuje się zwykłą czcionką (np. \(\rho\) i \(x_i\)), natomiast same wielkości wektorowe i tensorowe zapisuje się pogrubieniem (np. \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\) i \(\boldsymbol{\sigma}\)).

Konwencja sumacyjna Einsteina

O ile nie podano inaczej, stosowana jest konwencja sumacyjna Einsteina: jeśli ten sam indeks występuje dwukrotnie w tym samym wyrazie, wykonuje się sumowanie po tym indeksie. Na przykład,

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

a składowa \(i,j\) iloczynu \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) tensorów \(\boldsymbol{A}\) i \(\boldsymbol{B}\) ma postać

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

Zgodnie z konwencją indeksów, gdy \(i, j, k, l, \ldots\) są używane jako indeksy bez dodatkowego objaśnienia, oznaczają indeksy związane ze stopniami swobody (\(1, 2, 3\) w trzech wymiarach), natomiast małe litery greckie \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) używane jako indeksy oznaczają indeksy związane z węzłami tworzącymi element.

Iloczyn wewnętrzny, transpozycja i iloczyn tensorowy

Transpozycję tensora \(\boldsymbol{A}\) oznacza się przez \(\boldsymbol{A}^T\). Iloczyn wewnętrzny (podwójne zwężenie) tensorów drugiego rzędu \(\boldsymbol{A}\) i \(\boldsymbol{B}\) zapisuje się jako

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

Iloczyn skalarny wektorów \(\boldsymbol{a}\) i \(\boldsymbol{b}\) ma postać \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\), a ich iloczyn tensorowy \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\).

Notacja Voigta

Naprężenie i odkształcenie są symetrycznymi tensorami drugiego rzędu względem stopni swobody, a współczynniki opisujące liniową zależność między nimi tworzą tensor czwartego rzędu. Bezpośrednia obsługa takich obiektów w programie jest niekorzystna ze względu na koszt obliczeniowy i złożoność kodu (tablice wielowymiarowe i głęboko zagnieżdżone pętle). Dlatego typowe programy MES wykorzystują symetrię i kompresują naprężenie i odkształcenie do wektorów kolumnowych, a tensor sprężystości czwartego rzędu do macierzy dwuwymiarowej. Taki zapis nazywa się notacją Voigta.

W dalszej części macierzową lub wektorową reprezentację wielkości tensorowej \(\boldsymbol{A}\) oznacza się przez \(\hat{A}\), aby odróżnić ją od pierwotnego tensora.

Wektorowa reprezentacja naprężenia i odkształcenia

Dla symetrycznego tensora naprężenia \(\boldsymbol{\sigma}\) i tensora odkształcenia \(\boldsymbol{\varepsilon}\), w dwóch wymiarach,

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

a w trzech wymiarach,

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

są one obsługiwane jako wektory kolumnowe, jak pokazano powyżej. Ta sama reguła dotyczy wielkości pochodnych, takich jak wariacje i różniczki. Należy zauważyć, że składowe ścinające po stronie odkształcenia mają współczynnik 2 (po stronie naprężenia go nie ma). Dzięki tej asymetrii iloczyn wewnętrzny tensorów można zwięźle zapisać jako iloczyn wektorowy

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

W implementacji współczynnik 2 przy składowych odkształcenia ścinającego łatwo obsłużyć nieprawidłowo, dlatego zawsze należy pamiętać o konwencji „brak po stronie naprężenia / obecny po stronie odkształcenia”. Dokładnie ta sama konwencja Voigta jest stosowana do wielkości w konfiguracji odniesienia (drugiego naprężenia Pioli-Kirchhoffa \(\boldsymbol{S}\) i odkształcenia Greena-Lagrange'a \(\boldsymbol{E}\)).

Macierzowa reprezentacja tensora czwartego rzędu

Dla liniowej zależności między naprężeniem i odkształceniem, \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (w zapisie składowym \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)), wykorzystanie symetrii \(\boldsymbol{\varepsilon}\) daje

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

W trzech wymiarach ułożenie \(\tilde{C}\) w postaci macierzy materiałowej 6×6 \(\hat{\tilde{C}}\) pozwala zapisać pierwotną relację tensorową jako

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

W dalszej części tego podręcznika, o ile nie zaznaczono inaczej, macierz materiałową oznacza się przez \(D\) (lub \(\hat{C}\)). Konkretne składowe dla izotropowej liniowej sprężystości podano w rozdziale Sprężystość liniowa.

Konwencje operatorów różniczkowych

Operator gradientu symetrycznego

Operator gradientu symetrycznego \(\nabla_S\) dla pola wektorowego \(\boldsymbol{u}\) jest zdefiniowany jako

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

W zapisie składowym \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\). Odkształcenie dla małych deformacji \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) można zwięźle wyrazić za pomocą tego operatora. Rozróżnienie konfiguracji (odniesienia/bieżącej), względem których obliczane są gradienty przy dużych deformacjach, opisano w Ruchu, deformacji i odkształceniu.

Materialna pochodna czasowa

Materialną pochodną czasową wielkości \(A\) (pochodną czasową śledzącą ten sam punkt materialny) oznacza się kropką w indeksie górnym, \(\dot{A}\):

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

Prędkość i przyspieszenie podlegają tej konwencji.

Tematy powiązane