Przejdź do treści

Pełzanie

W tym rozdziale opisano prawo konstytutywne pełzania stosowane w FrontISTR. Szczegółowe informacje dotyczące wyboru i specyfikacji danych wejściowych zawiera sekcja funkcji 03_material.

Zjawisko pełzania i addytywny rozkład odkształcenia

Zależne od czasu przemieszczenie w warunkach stałego naprężenia jest zjawiskiem nazywanym „pełzaniem”.

Opisane wcześniej zachowanie lepkosprężyste można również uznać za rodzaj liniowego zjawiska pełzania. Poniżej opisano kilka nieliniowych zachowań pełzania. Powszechnym podejściem jest sformułowanie zależności konstytutywnej przez dodanie tego zachowania do odkształcenia powstającego natychmiast, oraz zdefiniowanie odkształcenia narastającego podczas działania danego stałego obciążenia jako odkształcenia pełzania \(\varepsilon^c\). Zależność konstytutywna uwzględniająca pełzanie jest zwykle wyrażana za pomocą prędkości odkształcenia pełzania \(\dot{\varepsilon}^c\), definiowanej jako funkcja naprężenia i całkowitego odkształcenia pełzania.

\[ \dot{\varepsilon}^c \equiv \frac{\partial \varepsilon^c}{\partial t} = \beta(\sigma, \varepsilon^c) \]

Jeśli odkształceniem powstającym natychmiast jest odkształcenie sprężyste \(\varepsilon^e\), całkowite odkształcenie wyraża się jako następującą sumę obejmującą odkształcenie pełzania.

\[ \varepsilon = \varepsilon^e + \varepsilon^c \]

gdzie

\[ \varepsilon^e = c^{-1} : \sigma \]

(\(c\) jest tensorem sprężystości).

Prawo Nortona

Jako konkretne prawo konstytutywne pełzania FrontISTR stosuje następujący model Nortona. W tym prawie konstytutywnym równoważna prędkość odkształcenia pełzania \(\dot{\varepsilon}^{cr}\) jest wyrażona jako funkcja naprężenia von Misesa \(q\) i czasu \(t\) następująco.

\[ \dot{\varepsilon}^{cr} = A q^n t^m \]

Tutaj \(A\), \(m\) i \(n\) są stałymi materiałowymi.

Całkowanie w czasie i aktualizacja naprężenia

Podobnie jak w przypadku materiałów plastycznych, dla prawa konstytutywnego wykazującego pełzanie należy określić numeryczną metodę całkowania w czasie. Zależność konstytutywna przy uwzględnieniu pełzania ma postać

\[ \sigma_{n+1} = c : (\varepsilon_{n+1} - \varepsilon_{n+1}^c) \]
\[ \varepsilon_{n+1}^c = \varepsilon_n^c + \Delta t \, \beta_{n+\theta} \]

gdzie \(\beta_{n+\theta}\) jest

\[ \beta_{n+\theta} = (1 - \theta) \beta_n + \theta \beta_{n+1} \]

Następnie przyrost odkształcenia pełzania \(\Delta \varepsilon^c\) definiuje się następującym uproszczonym równaniem nieliniowym:

\[ R_{n+1} = \varepsilon_{n+1} - c^{-1} : \sigma_{n+1} - \varepsilon_n^c - \Delta t \, \beta_{n+\theta} = \mathbf{0} \]

które przyrównuje się do zera.

W iteracji Newtona-Raphsona, przyjmując \(\sigma_{n+1} = \sigma_n\) jako naprężenie początkowe i wykorzystując przyrost odkształcenia uzyskany metodą elementów skończonych, rozwiązanie iteracyjne i przyrost są dane przez

\[ R_{n+1}^{(k+1)} = \mathbf{0} = R_{n+1}^{(k)} - (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c) \, d\sigma_{n+1}^{(k)} \]

gdzie

\[ c_{n+1}^c = \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+\theta} = \theta \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+1} \]

przy czym Po prowadzeniu iteracji do chwili, gdy residuum \(R\) osiągnie \(\mathbf{0}\), naprężenie \(\sigma_{n+1}\) i moduł styczny

\[ c_{n+1}^* = (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c)^{-1} \]

są używane.

Tematy powiązane