Przejdź do treści

Sprężysto-plastyczność

W tym rozdziale opisano ramy prawa konstytutywnego sprężysto-plastycznego przyjętego w FrontISTR. Szczegóły dotyczące wyboru i specyfikacji danych wejściowych znajdują się w 03_material w sekcji Funkcje.

Zjawisko (odkształcenie plastyczne)

TBD (do opracowania w następnej fazie).

Ramy prawa konstytutywnego

FrontISTR przyjmuje sprężysto-plastyczne równanie konstytutywne oparte na skojarzonym prawie płynięcia. Równanie konstytutywne wyraża zależność między pochodną Jaumanna naprężenia Kirchhoffa a tensorem szybkości odkształcenia, a w analizie deformacji stosuje się zaktualizowane sformułowanie Lagrange’a.

Załóżmy, że warunek plastyczności materiału sprężysto-plastycznego jest określony następująco.

Początkowy warunek plastyczności:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

Następczy warunek plastyczności:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

gdzie

  • \(F\): funkcja plastyczności
  • \(\sigma_{y_0}\): początkowe naprężenie uplastyczniające
  • \(\sigma_y\): następcze naprężenie uplastyczniające
  • \(\sigma\): tensor naprężenia
  • \(e\): tensor odkształcenia nieskończenie małego
  • \(e^p\): tensor odkształcenia plastycznego
  • \(\overline{e}^p\): zastępcze odkształcenie plastyczne

Przyjmuje się, że zależność naprężenie uplastyczniające–zastępcze odkształcenie plastyczne pokrywa się z zależnością naprężenie–odkształcenie plastyczne w stanie jednoosiowym.

Zależność naprężenie–odkształcenie plastyczne w stanie jednoosiowym

\[ \sigma = H(e^p) \]
\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

gdzie \(H'\) jest modułem umocnienia odkształceniowego.

Zależność naprężenie zastępcze–zastępcze odkształcenie plastyczne

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]
\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

Ogólnie następcza funkcja plastyczności jest funkcją temperatury i pracy odkształcenia plastycznego, lecz dla uproszczenia przyjmuje się tutaj, że zależy wyłącznie od zastępczego odkształcenia plastycznego \(\overline{e}^p\). W trakcie rozwoju odkształcenia plastycznego warunek \(F = 0\) musi być nadal spełniony, dlatego musi zachodzić następujące równanie.

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

Tutaj \(\dot{F}\) oznacza pochodną czasową \(F\). Dalej pochodną czasową wielkości \(A\) oznacza się przez \(\dot{A}\).

Załóżmy istnienie potencjału plastycznego \(\Theta\) i wyraźmy szybkość odkształcenia plastycznego następującym równaniem.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

Tutaj \(\dot{\lambda}\) jest współczynnikiem.

Ponadto, zakładając, że potencjał plastyczny \(\Theta\) jest równy funkcji plastyczności \(F\), stosuje się następujące skojarzone prawo płynięcia.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

Podstawienie tego równania do warunku zgodności daje następujące równanie.

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

Tutaj \(D\) jest macierzą sprężystości, a

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

Sprężysto-plastyczną zależność naprężenie–odkształcenie można zapisać następująco.

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

Gdy znana jest funkcja plastyczności \(F\) materiału sprężysto-plastycznego, jego równanie konstytutywne otrzymuje się z tego wyrażenia.

Funkcje plastyczności

Poniżej wymieniono sprężysto-plastyczne funkcje plastyczności przyjęte w FrontISTR.

Funkcja plastyczności von Misesa

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

Tutaj \(J_2\) jest drugim niezmiennikiem dewiatorowego tensora naprężenia.

Funkcja plastyczności Mohra-Coulomba

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

Tutaj \(\sigma_1, \sigma_3\) są odpowiednio maksymalnym i minimalnym naprężeniem głównym, \(c\) oznacza kohezję, a \(\phi\) — kąt tarcia wewnętrznego.

Funkcja plastyczności Druckera-Pragera

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

Tutaj stałe materiałowe \(\alpha\) i \(\sigma_y\) są obliczane z kohezji materiału i kąta tarcia w następujący sposób.

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]

Tematy powiązane