Przejdź do treści

Metody analizy dynamicznej

W tej sekcji przedstawiono metody analizy problemów dynamicznych z zastosowaniem bezpośredniego całkowania w czasie. Poniżej podano sformułowania metody niejawnej i jawnej.

Dyskretyzacja równania ruchu (wspólny schemat)

TBD (do uzupełnienia w następnej fazie).

Metoda niejawna (metoda Newmarka-β)

Dla problemów dynamicznych do rozwiązania przedstawionego poniżej równania ruchu zastosowano metodę bezpośredniego całkowania w czasie.

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

Tutaj \(M\) jest macierzą masy, \(C\) macierzą tłumienia, \(Q\) wektorem sił wewnętrznych, a \(F\) wektorem sił zewnętrznych. Macierz masy przyjmuje się jako stałą, niezależnie od odkształcenia, również w analizie nieliniowej.

Zmiany przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia w przedziale czasowym \(\Delta t\) aproksymuje się metodą Newmarka-\(\beta\), jak pokazano w równaniu \(\eqref{eq:2.5.2}\) i równaniu \(\eqref{eq:2.5.3}\).

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

Tutaj \(\gamma\) i \(\beta\) są parametrami metody Newmarka-\(\beta\).

Jak powszechnie wiadomo, przy następujących wartościach \(\gamma\) i \(\beta\) metoda odpowiada odpowiednio metodzie liniowego przyspieszenia oraz regule trapezów.

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (metoda liniowego przyspieszenia)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (reguła trapezów)

Podstawienie równania \(\eqref{eq:2.5.2}\) i równania \(\eqref{eq:2.5.3}\) do równania \(\eqref{eq:2.5.1}\) daje następujące równanie.

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

W szczególności dla problemu liniowego \(K_L\) jest liniową macierzą sztywności, a \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\). Podstawienie tej zależności do powyższego równania daje:

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

W miejscach, w których przyspieszenie jest zadane jako geometryczny warunek brzegowy, przemieszczenie otrzymuje się z równania \(\eqref{eq:2.5.2}\) w następującej postaci.

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

Analogicznie, w miejscach, w których zadana jest prędkość, przemieszczenie otrzymuje się z równania \(\eqref{eq:2.5.6}\) w następującej postaci.

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

Tutaj \(u_{is}(t+\Delta{t})\) jest przemieszczeniem węzła w chwili \(t+\Delta{t}\), a \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) jest prędkością węzła w chwili \(t+\Delta{t}\), \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) jest przyspieszeniem węzła w chwili \(t+\Delta{t}\), \(i\) oznacza numer stopnia swobody węzła, a \(s\) numer węzła. Składniki masy i tłumienia są traktowane w następujący sposób.

Traktowanie składnika masy

Zasadniczo macierz masy jest traktowana jako skupiona macierz masy.

Traktowanie składnika tłumienia

Składnik tłumienia jest traktowany jako tłumienie Rayleigha opisane równaniem \(\eqref{eq:2.5.8}\).

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

Tutaj \(R_m\) i \(R_k\) są parametrami tłumienia Rayleigha.

Wartości \(R_m\) i \(R_k\) określone na karcie !DYNAMIC są stosowane jednolicie do całego modelu. Aby przypisać różne wartości \(R_m\) i \(R_k\) poszczególnym materiałom, należy określić kartę !DAMPING w bloku !MATERIAL danego materiału. Dla elementów należących do materiału, dla którego określono !DAMPING, macierz tłumienia elementu jest obliczana jako \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) na podstawie macierzy masy elementu \(M_i\) i stycznej macierzy sztywności \(K_i\), a następnie składana do globalnej macierzy tłumienia. Funkcja ta jest dostępna tylko dla metody niejawnej.

Metoda jawna (metoda różnic centralnych)

Metoda jawna opiera się na przedstawionym poniżej równaniu ruchu w chwili t.

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

Wyrażając przemieszczenia w chwilach \(t + \Delta t\) oraz \(t - \Delta t\) za pomocą rozwinięcia Taylora wokół chwili \(t\) i zachowując wyrazy do drugiego rzędu względem \(\Delta t\), otrzymuje się:

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

Z różnicy i sumy równania \(\eqref{eq:2.5.3}\) oraz równania \(\eqref{eq:2.5.4}\) otrzymuje się następujące równania.

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

Podstawienie równania \(\eqref{eq:2.5.12}\) i równania \(\eqref{eq:2.5.13}\) do równania \(\eqref{eq:2.5.9}\) daje następujące równanie.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

W szczególności dla problemu liniowego \(Q(t) = K_L U(t)\), a powyższe równanie przyjmuje postać

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

Jeżeli macierz masy \(M\) przyjmie się jako skupioną macierz masy, a macierz tłumienia jako proporcjonalną macierz tłumienia \(C = R_m M\), równanie \(\eqref{eq:2.5.15}\) nie wymaga rozwiązywania układu równań.

Zatem z równania \(\eqref{eq:2.5.15}\) wartość \(U(t+\Delta t)\) można wyznaczyć z następującego równania.

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

Powiązane tematy