Liniowa analiza statyczna sprężystości (wprowadzenie)

W tej sekcji przedstawiono sformułowanie statycznej analizy sprężystej opartej na teorii odkształceń nieskończenie małych. Dla zależności naprężenie–odkształcenie przyjmuje się sprężystość liniową. Rozdział ten ma charakter wprowadzenia do zrozumienia ogólnej struktury strukturalnej analizy metodą elementów skończonych i został zorganizowany jako samodzielny rozdział.

Ogólną teorię zasady pracy wirtualnej (postać w konfiguracji bieżącej, postać w konfiguracji początkowej oraz redukcję do odkształceń nieskończenie małych) przedstawiono w Zasadzie pracy wirtualnej; szczegóły liniowo-sprężystego prawa konstytutywnego znajdują się w Sprężystości liniowej; konwencje zapisu tensorowego i notacji Voigta opisano w Notacji tensorowej i podstawach matematycznych; ogólne sformułowanie dużych odkształceń znajduje się w Ruchu, odkształceniu i deformacji; a metody rozwiązania problemów nieliniowych opisano w Macierzy sztywności stycznej.

Równania podstawowe

Przy założeniach odkształceń nieskończenie małych i sprężystości liniowej zagadnienie brzegowe mechaniki ciała stałego składa się z równania równowagi, mechanicznych warunków brzegowych i geometrycznych warunków brzegowych (warunków istotnych) (zobacz rysunek 2.1.1):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{in} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{on} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{on} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

Tutaj \(\boldsymbol{\sigma}\) oznacza naprężenie Cauchy’ego, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) — siłę objętościową na jednostkę objętości, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) — zadaną trakcję powierzchniową, \(\overline{\boldsymbol{u}}\) — zadane przemieszczenie, a \(S_t, S_u\) — odpowiednio granice mechaniczne i geometryczne.

Rysunek 2.1.1 Zagadnienie brzegowe mechaniki ciała stałego (problem odkształceń nieskończenie małych)

Korzystając z symetrycznego operatora gradientu, zależność odkształcenie–przemieszczenie ma postać

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

Liniowo-sprężyste równanie konstytutywne ma postać

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

gdzie \(\boldsymbol{C}\) jest tensorem sprężystości czwartego rzędu.

Zasada pracy wirtualnej

Ogólne postacie zasady pracy wirtualnej (postać w konfiguracji bieżącej, postać w konfiguracji początkowej oraz redukcja do odkształceń nieskończenie małych) podsumowano w Zasadzie pracy wirtualnej. Przy założeniach odkształceń nieskończenie małych i sprężystości liniowej postać słaba jest następująca

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{on} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

Po podstawieniu równania konstytutywnego \eqref{eq:2.1.5} i zapisaniu \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) w notacji Voigta otrzymuje się postać używaną bezpośrednio do dyskretyzacji:

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

otrzymuje się, gdzie \(D\) jest macierzą sprężystości zdefiniowaną w Sprężystości liniowej. Równania \eqref{eq:2.1.10} i \eqref{eq:2.1.7} stanowią zasadę pracy wirtualnej dyskretyzowaną poniżej.

Dyskretyzacja i składanie równania globalnego

Dyskretyzacja zasady pracy wirtualnej z równania \( \eqref{eq:2.1.10} \) na elementach skończonych daje

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

Dla każdego elementu pole przemieszczeń jest interpolowane za pomocą przemieszczeń węzłów tworzących element w następujący sposób.

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

Odkształcenie jest następnie dane przy użyciu równania \(\eqref{eq:2.1.4}\) w następującej postaci.

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

Podstawienie równań \(\eqref{eq:2.1.12}\) i \(\eqref{eq:2.1.13}\) do równania \(\eqref{eq:2.1.11}\) daje

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

Równanie \(\eqref{eq:2.1.14}\) można zapisać jako

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

Tutaj składowe macierzy i wektora zdefiniowanych równaniami \(\eqref{eq:2.1.16}\) i \(\eqref{eq:2.1.17}\) można obliczyć dla każdego elementu skończonego i złożyć przez superpozycję.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

Ponieważ równanie \(\eqref{eq:2.1.15}\) zachodzi dla dowolnego przemieszczenia wirtualnego \(\delta \boldsymbol{U}\), otrzymuje się następujące równanie.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

Natomiast warunek brzegowy przemieszczenia z równania \(\eqref{eq:2.1.3}\) wyraża się następująco.

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

Rozwiązując równanie \(\eqref{eq:2.1.18}\) przy warunku ograniczenia z równania \(\eqref{eq:2.1.19}\), można wyznaczyć przemieszczenie węzłowe \(\boldsymbol{U}\).

Zobacz także