Przejdź do treści

Sprężystość liniowa

W tym rozdziale omówiono prawo konstytutywne (prawo Hooke’a) dla materiałów liniowo sprężystych. Szczegółowe informacje dotyczące wyboru modelu i specyfikacji danych wejściowych zawiera sekcja funkcji 03_material.

Zjawisko (odpowiedź liniowo sprężysta)

Ciało liniowo sprężyste jest materiałem, który w zakresie dostatecznie małych odkształceń pod obciążeniem wykazuje liniową zależność między naprężeniem i odkształceniem oraz odwracalną, niezależną od historii odpowiedź, w której po odciążeniu całe odkształcenie powraca do stanu początkowego. W przeciwieństwie do plastyczności lub pełzania nie występują w nim zmienne wewnętrzne opisujące stan (takie jak odkształcenie plastyczne lub lepkie), a naprężenie jest jednoznacznie wyznaczane wyłącznie przez bieżące odkształcenie.

W zakresie małych deformacji stosuje się naprężenie Cauchy’ego \(\boldsymbol{\sigma}\) i odkształcenie infinitesymalne \(\boldsymbol{\varepsilon}\); w zakresie dużych deformacji (problemy obejmujące duże obroty, lecz z małymi samymi odkształceniami) stosuje się drugie naprężenie Pioli-Kirchhoffa \(\boldsymbol{S}\) oraz odkształcenie Greena-Lagrange’a \(\boldsymbol{E}\) (materiał St.Venanta-Kirchhoffa).

Prawo konstytutywne

Izotropowy materiał liniowo sprężysty

W zakresie małych deformacji izotropowe prawo Hooke’a zapisuje się za pomocą stałych Lamégo \(\lambda, \mu\) jako

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

W zapisie składowych,

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

a podwójna kontrakcja z odkształceniem daje \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\). Stałe Lamégo są związane z modułem Younga \(E\) i współczynnikiem Poissona \(\nu\) następująco:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

W notacji Voigta zależność między wektorem odkształceń \(\hat{\varepsilon}\) i wektorem naprężeń \(\hat{\sigma}\) zapisuje się jako \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\), a trójwymiarowa macierz materiałowa \(D\) ma postać

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

Ta reprezentacja macierzowa jest używana w implementacji.

Ortotropowy materiał liniowo sprężysty

Dla materiałów, których stałe sprężyste różnią się zależnie od kierunku osi głównych, stosuje się model ortotropowy z dziewięcioma niezależnymi stałymi: modułami Younga w kierunkach osi głównych \(E_1, E_2, E_3\), współczynnikami Poissona między osiami głównymi \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\) oraz modułami ścinania \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). Jawna postać macierzy \(D\) jest podana w standardowej literaturze.

Zakres dużych deformacji: materiał St.Venanta-Kirchhoffa

Dla problemów obejmujących duże obroty, lecz z małymi samymi odkształceniami, materiał St.Venanta-Kirchhoffa jest stosowany jako liniowe prawo sprężystości wiążące drugie naprężenie Pioli-Kirchhoffa \(\boldsymbol{S}\) z odkształceniem Greena-Lagrange’a \(\boldsymbol{E}\):

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Definicje stałych Lamégo \(\lambda, \mu\) są takie same jak w przypadku małych deformacji. Należy jednak zauważyć, że ponieważ definicje pary naprężenie–odkształcenie są inne, jest to inne prawo konstytutywne niż prawo Hooke’a dla małych deformacji.

Materiał hiposprężysty

W metodzie Updated Lagrange stosuje się materiał hiposprężysty, w którym liniowe prawo sprężystości obowiązuje między pochodną Jaumanna względnego tensora naprężenia Kirchhoffa \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) a tensorem prędkości deformacji \(\boldsymbol{D}\):

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

Także tutaj definicja \(\boldsymbol{C}\) za pomocą stałych Lamégo jest taka sama jak powyżej, lecz ponieważ para naprężenie–odkształcenie jest inna, jest to odmienne prawo konstytutywne. Szczegółowe informacje o aktualizacji \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) w procedurze całkowania w czasie (całkowanie Eulera w przód i aproksymacja różnicą centralną) zawiera tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex.

Redukcja dla analizy dwuwymiarowej i elementów powłokowych

Płaski stan naprężenia (\(\sigma_{33} = 0\))

Dla płaskiego stanu naprężenia, reprezentującego obciążenie cienkich płyt i powłok, przyjmuje się \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\) i stosuje \(D\) po algebraicznym wyeliminowaniu składowej odkształcenia poza płaszczyzną \(\varepsilon_{33}\):

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Płaski stan odkształcenia (\(\varepsilon_{33} = 0\))

Dla płaskiego stanu odkształcenia, reprezentującego przekrój długiej konstrukcji ograniczonej w kierunku grubości, przyjmuje się \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\):

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Osiowosymetryczny

W analizie osiowosymetrycznej, dotyczącej problemów jednorodnych w kierunku \(\theta\) w cylindrycznym układzie współrzędnych \((r, \theta, z)\), zachowuje się cztery składowe \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) oraz \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\), i otrzymuje się

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

otrzymuje się.

Elementy powłokowe (płaski stan naprężenia + ścinanie poprzeczne)

W elementach powłokowych naprężenie w płaszczyźnie traktuje się jako płaski stan naprężenia, a dla składowych odkształcenia od ścinania poprzecznego \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\) stosuje się \(\kappa\, G\) ze współczynnikiem korekcji ścinania \(\kappa\) (zwykle \(\kappa = 5/6\)). Szczegółową formulację poszczególnych elementów zawiera Zaawansowane formulacje elementów. Stwierdzenie w sekcji funkcji 03_material, że „elementy powłokowe obsługują wyłącznie sprężystość liniową”, wynika z tego uproszczenia polegającego na traktowaniu stanu w płaszczyźnie jako płaskiego stanu naprężenia.

Zależność od temperatury

Moduł Younga \(E\), współczynnik Poissona \(\nu\) i współczynnik rozszerzalności liniowej \(\alpha\) są na ogół zadawane jako funkcje temperatury \(T\). W FrontISTR wprowadza się wartości dla skończonego ciągu punktów temperatury \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\), a wartość w temperaturze \(T\) podczas obliczeń jest wyznaczana przez interpolację liniową między sąsiednimi punktami. Dla temperatur poza zakresem (\(T < T_1\) lub \(T > T_n\)) do ekstrapolacji używa się wartości z najbliższego punktu końcowego, \(T_1\) lub \(T_n\) (ekstrapolacja stała).

Zależność od temperatury właściwości cieplnych i przewodzenia ciepła (gęstość, ciepło właściwe i przewodność cieplna) opisano w Właściwościach cieplnych. Reguły interpolacji są wspólne dla tych właściwości.

Tematy powiązane