Перейти к содержанию

Линейная упругость

В этой главе рассматривается определяющее соотношение (закон Гука) для линейно-упругих материалов. Подробности выбора модели и задания входных данных см. в разделе функций 03_material.

Явление (линейно-упругий отклик)

Линейно-упругим называется материал, который в области достаточно малых деформаций под нагрузкой имеет линейную зависимость между напряжением и деформацией и демонстрирует обратимый, не зависящий от истории отклик: при разгрузке все деформации полностью исчезают. В отличие от пластичности и ползучести такой материал не имеет внутренних переменных состояния (например, пластической или вязкой деформации), а напряжение однозначно определяется только текущей деформацией.

В области малых деформаций используются напряжение Коши \(\boldsymbol{\sigma}\) и малая деформация \(\boldsymbol{\varepsilon}\); в области конечных перемещений (задачи с большими поворотами, но малыми собственно деформациями) используются второе напряжение Пиолы—Кирхгофа \(\boldsymbol{S}\) и деформация Грина—Лагранжа \(\boldsymbol{E}\) (материал St.Venant-Kirchhoff).

Определяющее соотношение

Изотропный линейно-упругий материал

Изотропный закон Гука в области малых деформаций выражается через параметры Ламе \(\lambda, \mu\) как

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

В компонентной форме

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

и двойное свёртывание с деформацией даёт \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\). Параметры Ламе связаны с модулем Юнга \(E\) и коэффициентом Пуассона \(\nu\) следующим образом:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

В обозначениях Фойгта связь между вектором деформаций \(\hat{\varepsilon}\) и вектором напряжений \(\hat{\sigma}\) записывается как \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\), а трёхмерная материальная матрица \(D\) имеет вид

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

Это матричное представление используется в реализации.

Ортотропный линейно-упругий материал

Для материалов, у которых упругие константы различаются по главным направлениям, используется ортотропная модель с девятью независимыми константами: модулями Юнга \(E_1, E_2, E_3\) по главным направлениям, коэффициентами Пуассона \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\) между главными осями и модулями сдвига \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). Явный вид матрицы \(D\) см. в стандартной литературе.

Область конечных перемещений: материал St.Venant-Kirchhoff

Для задач с большими поворотами, но малыми собственно деформациями, материал St.Venant-Kirchhoff используется как линейно-упругий закон, связывающий второе напряжение Пиолы—Кирхгофа \(\boldsymbol{S}\) и деформацию Грина—Лагранжа \(\boldsymbol{E}\):

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Определения параметров Ламе \(\lambda, \mu\) те же, что и для малых деформаций. Однако поскольку используется другая пара определений напряжения и деформации, это отдельное определяющее соотношение, отличное от закона Гука для малых деформаций.

Гипоупругий материал

В методе Updated Lagrange используется линейно-упругое соотношение между скоростью Яуманна относительного тензора напряжений Кирхгофа \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) и тензором скорости деформации \(\boldsymbol{D}\):

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

Для этого используется гипоупругий материал. Определение \(\boldsymbol{C}\) через параметры Ламе здесь также совпадает с приведённым выше, но из-за иной пары напряжения и деформации это другое определяющее соотношение. Подробности обновления напряжения \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) по процедуре интегрирования по времени (явное интегрирование Эйлера и аппроксимация центральными разностями) см. в tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex.

Сведение для двумерного анализа и оболочечных элементов

Плоское напряжённое состояние (\(\sigma_{33} = 0\))

Для плоского напряжённого состояния, описывающего нагружение тонких пластин и оболочек, предполагается \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\), а используется матрица \(D\), полученная алгебраическим исключением внеплоскостной компоненты деформации \(\varepsilon_{33}\):

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Плоское деформированное состояние (\(\varepsilon_{33} = 0\))

Для плоского деформированного состояния, представляющего сечение длинной конструкции, ограниченной в направлении толщины, предполагается \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\):

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Осесимметричный случай

В осесимметричном анализе задач, однородных по направлению \(\theta\) в цилиндрических координатах \((r, \theta, z)\), сохраняются четыре компоненты \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) и \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\), и

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

получаем.

Оболочечные элементы (плоское напряжённое состояние + поперечный сдвиг)

Для оболочечных элементов напряжённое состояние в плоскости рассматривается как плоское напряжённое, а для компонент поперечной сдвиговой деформации \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\) используется \(\kappa\, G\) с коэффициентом коррекции сдвига \(\kappa\) (обычно \(\kappa = 5/6\)). Конкретные формулировки элементов см. в разделе Высокоэффективные формулировки элементов. Спецификация раздела функций 03_material, согласно которой «оболочечные элементы поддерживают только линейную упругость», основана на этом упрощении, при котором внутриплоскостное состояние рассматривается как плоское напряжённое.

Температурная зависимость

Модуль Юнга \(E\), коэффициент Пуассона \(\nu\) и коэффициент линейного расширения \(\alpha\) обычно задаются как функции температуры \(T\). В FrontISTR вводятся значения для конечной последовательности температурных точек \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\), а значение при текущей температуре \(T\) вычисляется линейной интерполяцией между соседними точками. Для температур вне диапазона (\(T < T_1\) или \(T > T_n\)) используется значение ближайшей крайней точки \(T_1\) или \(T_n\) (постоянная экстраполяция).

Температурную зависимость тепловых и теплопроводных свойств (плотности, удельной теплоёмкости и теплопроводности) см. в разделе Теплофизические свойства. Правила интерполяции для них те же.

Связанные разделы