Перейти к содержанию

Частотный анализ

Постановка задачи

Частотный анализ оценивает установившиеся амплитуду и фазу отклика системы в частотной области, когда внешняя сила гармонически изменяется во времени. Поскольку основное уравнение движения рассматривается по-разному при наличии и отсутствии демпфирования, в этой главе сначала выводятся собственные формы из свободных колебаний без демпфирования, а затем они используются как модальный базис для разложения гармонического отклика с демпфированием.

Свободные колебания без демпфирования и собственные формы

При пренебрежении демпфированием уравнение движения имеет вид

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

Разложение перемещения по собственным формам даёт

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

Подстановка этого выражения в уравнение \(\eqref{eq:2.6.1}\) даёт

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

Это обобщённая задача на собственные значения. Численные методы её решения, включая обратные итерации со сдвигом и метод Ланцоша, рассматриваются в разделе Модальный анализ. Здесь кратко изложены свойства получаемых собственных частот и собственных форм, используемые далее при разложении гармонического отклика.

Действительность собственных частот

Действительность собственной частоты можно показать следующим образом. Пусть \(\omega_j^2 = \lambda_j\). Взяв комплексное сопряжение уравнения \(\eqref{eq:2.6.3}\), получаем уравнение \(\eqref{eq:2.6.4}\).

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

Умножая на \(\overline{U}_J^T\), получаем

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

Из уравнения \(\eqref{eq:2.6.5}\) следует

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

Поскольку матрица масс симметрична и положительно определена, для ненулевого собственного вектора имеем

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

Следовательно,

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

Таким образом, \(\omega_j^2 = \lambda_j\) является действительным числом.

Ортогональность и нормировка собственных форм

Рассмотрим две различные формы.

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

Отсюда следует

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

и при различных собственных значениях

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

Таким образом, различные собственные формы ортогональны относительно матрицы масс. Для одной и той же формы нормировка относительно матрицы масс, как в уравнении \(\eqref{eq:2.6.12}\), упрощает последующее рассмотрение.

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

Гармонический отклик с демпфированием

Далее приводится формулировка частотного анализа с демпфированием. Основное уравнение движения задаётся уравнением \(\eqref{eq:2.6.13}\).

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

Предполагается демпфирование Рэлея, выражаемое уравнением \(\eqref{eq:2.6.14}\).

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

Используя собственные векторы, полученные при модальном анализе, вектор перемещений в момент времени t можно разложить согласно уравнению \(\eqref{eq:2.6.15}\).

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

Пусть член внешней силы имеет гармонический вид

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

Тогда определим \(b_{j}(t)\). Поскольку уравнение движения \(\eqref{eq:2.6.13}\) имеет форму уравнения вынужденных колебаний,

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

Действительная и мнимая части коэффициента разложения \(b_{j}(t)\) задаются соответственно уравнениями \(\eqref{eq:2.6.18}i\) и \(\eqref{eq:2.6.19}\).

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]
\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

Таким образом получаются требуемые коэффициенты гармонического отклика.

Связанные разделы