Перейти к содержанию

Дискретизация виртуальной работы внутренних сил

Уравнение виртуальных работ в момент времени \(t + \Delta t\), приведенное в разделе Схема инкрементного анализа, в зависимости от выбора отсчетной конфигурации приводит к двум формулировкам: Updated Lagrange и Total Lagrange. В этой главе с помощью конечно-элементной аппроксимации, введенной в разделах Функции формы и конечно-элементная аппроксимация и Пространственные производные функций формы, выполняется пространственная дискретизация виртуальной работы внутренних сил для обеих формулировок и получаются векторы внутренних сил элемента \(\boldsymbol{q}^e\) (UL) и \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL).

Перемещения узлов \(\alpha = 1, \ldots, n_e\), составляющих элемент \(e\), обозначаются \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\), а вектор узловых перемещений элемента упорядочивается как \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\); виртуальное перемещение \(\delta \boldsymbol{u}^e\) определяется в том же порядке. Перемещение внутри элемента интерполируется функциями формы как \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\).

Виртуальная работа внутренних сил в методе Updated Lagrange

В методе Updated Lagrange текущая конфигурация \({}^{t}\Omega\) в момент времени \(t\) принимается за отсчетную, и виртуальная работа внутренних сил через напряжение Коши \(\boldsymbol{\sigma}\) и линейную часть деформации Альманси \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) записывается как

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Каждая компонента \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) выражается как линейная комбинация производных функций формы по координатам текущей конфигурации \(\boldsymbol{x}\), \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\), и узловых виртуальных перемещений \(\delta u^e_{i\alpha}\); в обозначениях Фойгта это записывается как

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

Узловой блок \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) представляет собой матрицу \(6 \times 3\), в которой \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) расположены по правилу Фойгта; \(\boldsymbol{B}_L\) является матрицей связи деформаций и перемещений для метода UL. Подставляя это выражение в виртуальную работу внутренних сил и выделяя \(\delta \boldsymbol{u}^e\), получаем

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

Узловой блок \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) вектора \(\boldsymbol{q}^e\) представляет внутреннюю силу, действующую на узел \(\alpha\) элемента \(\Omega^e\).

Виртуальная работа внутренних сил в методе Total Lagrange

В методе Total Lagrange начальная конфигурация \(\Omega_0\) принимается за отсчетную, и через второй тензор напряжений Пиолы—Кирхгофа \(\boldsymbol{S}\) и деформацию Грина—Лагранжа \(\boldsymbol{E}\) записывается

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

\(\delta \boldsymbol{E}\) разделяется на линейный по виртуальному перемещению член и нелинейный член, содержащий произведение с текущим градиентом перемещения \(\partial u_k/\partial X_j\):

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

Линейный член посредством узлового блока \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\), построенного применением того же правила расположения, что и в методе UL, к \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\), записывается как

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

При этом из-за различия отсчетных конфигураций компоненты лишь заменяются с \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) на \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\), а обозначение используется то же, что и в методе UL. Нелинейный член посредством узлового блока \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\), в котором произведения текущего градиента перемещения \(\partial u_k/\partial X_j\) и \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) расположены по правилу Фойгта, записывается как

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

Таким образом, \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\), а \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) является матрицей связи деформаций и перемещений для метода TL. Подстановка этого выражения в виртуальную работу внутренних сил дает

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

Узловой блок \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) представляет внутреннюю силу, действующую на узел \(\alpha\) элемента \(\Omega^e_0\).

Соответствие UL/TL и последовательность вычислений

Векторы внутренних сил элемента в методах Updated Lagrange и Total Lagrange соответствуют друг другу следующим образом.

Пункт Метод Updated Lagrange Метод Total Lagrange
Отсчетная конфигурация Текущая конфигурация \({}^{t}\Omega^e\) Начальная конфигурация \(\Omega^e_0\)
Тензор напряжений Напряжение Коши \(\boldsymbol{\sigma}\) Второе напряжение PK \(\boldsymbol{S}\)
Вариация деформации \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) \(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
Матрица B \(\boldsymbol{B}_L\) (\(\partial N/\partial x\)) \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) (\(\partial N/\partial X\), \(\partial u/\partial X\))
Внутренняя сила элемента \(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) \(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

Оба метода обрабатываются одной и той же последовательностью: «сформировать \(\boldsymbol{B}_L\) из пространственных производных функций формы», «в методе TL сформировать \(\boldsymbol{B}_{NL}\) из текущего градиента перемещения и добавить ее», «обновить напряжение (\(\boldsymbol{\sigma}\) или \(\boldsymbol{S}\)) согласно определяющему соотношению», «в точках интегрирования численно проинтегрировать по области элемента \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) или \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) (Численное интегрирование)». Поскольку все операции, кроме переключения отсчетной конфигурации (узловых координат и построения матрицы \(\boldsymbol{B}\)) и замены тензора напряжений, являются общими, в FrontISTR расчет внутренних сил для обоих методов реализован общей подпрограммой. Сборка глобального вектора внутренних сил из векторов внутренних сил элементов \(\boldsymbol{q}^e\) и \(\boldsymbol{Q}^e\) рассматривается в разделе Виртуальная работа внешних сил и сборка глобального уравнения.

Связанные разделы