Перейти к содержанию

Ползучесть

В этой главе описывается определяющий закон ползучести, используемый в FrontISTR. Подробности выбора и задания входных данных см. в разделе функций 03_material.

Явление ползучести и аддитивное разложение деформации

Зависящее от времени перемещение при условии постоянного напряжения называется «ползучестью».

Описанное выше вязкоупругое поведение также можно рассматривать как разновидность линейной ползучести. Здесь описываются несколько видов нелинейного поведения ползучести. Распространённый подход состоит в формулировании определяющего соотношения путём добавления этого поведения к деформации, возникающей мгновенно, и в определении деформации, накопленной за время действия постоянной нагрузки, как деформации ползучести \(\varepsilon^c\). Определяющее соотношение с учётом ползучести обычно выражается через скорость деформации ползучести \(\dot{\varepsilon}^c\), определяемую как функция напряжения и полной деформации ползучести.

\[ \dot{\varepsilon}^c \equiv \frac{\partial \varepsilon^c}{\partial t} = \beta(\sigma, \varepsilon^c) \]

Если мгновенно возникающая деформация является упругой деформацией \(\varepsilon^e\), полная деформация выражается следующей суммой, включающей деформацию ползучести.

\[ \varepsilon = \varepsilon^e + \varepsilon^c \]

где

\[ \varepsilon^e = c^{-1} : \sigma \]

(\(c\) — тензор упругости).

Закон Нортона

В качестве конкретного определяющего закона ползучести FrontISTR использует следующую модель Нортона. В этом определяющем законе эквивалентная скорость деформации ползучести \(\dot{\varepsilon}^{cr}\) выражается как функция напряжения Мизеса \(q\) и времени \(t\) следующим образом.

\[ \dot{\varepsilon}^{cr} = A q^n t^m \]

Здесь \(A\), \(m\) и \(n\) — константы материала.

Интегрирование по времени и обновление напряжений

Как и для пластических материалов, для определяющего закона, проявляющего ползучесть, необходимо задать численный метод интегрирования по времени. Определяющее соотношение с учётом ползучести имеет вид

\[ \sigma_{n+1} = c : (\varepsilon_{n+1} - \varepsilon_{n+1}^c) \]
\[ \varepsilon_{n+1}^c = \varepsilon_n^c + \Delta t \, \beta_{n+\theta} \]

где \(\beta_{n+\theta}\) определяется как

\[ \beta_{n+\theta} = (1 - \theta) \beta_n + \theta \beta_{n+1} \]

Тогда приращение деформации ползучести \(\Delta \varepsilon^c\) определяется следующим упрощённым нелинейным уравнением:

\[ R_{n+1} = \varepsilon_{n+1} - c^{-1} : \sigma_{n+1} - \varepsilon_n^c - \Delta t \, \beta_{n+\theta} = \mathbf{0} \]

которое приравнивается к нулю.

В итерации Ньютона — Рафсона, принимая \(\sigma_{n+1} = \sigma_n\) в качестве начального напряжения и используя приращение деформации, полученное методом конечных элементов, итерационное решение и приращение задаются выражением

\[ R_{n+1}^{(k+1)} = \mathbf{0} = R_{n+1}^{(k)} - (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c) \, d\sigma_{n+1}^{(k)} \]

где

\[ c_{n+1}^c = \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+\theta} = \theta \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+1} \]

при этом при выполнении итераций до тех пор, пока невязка \(R\) не станет \(\mathbf{0}\), используются напряжение \(\sigma_{n+1}\) и касательный модуль

\[ c_{n+1}^* = (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c)^{-1} \]

.

Связанные темы