潛變
本章說明 FrontISTR 採用的潛變構成定律。關於選用方式與輸入指定的詳細資訊，請參閱功能篇 03_material。
潛變現象與應變的加法分解
在應力保持一定的情況下，隨時間產生的位移稱為「潛變」現象。
前述黏彈性行為也可視為一種線性潛變現象。
此處說明若干非線性潛變。一般會將此現象所產生的應變附加於瞬時發生的應變，據此建立構成式，
並將某一定荷重持續作用期間所累積的應變定義為潛變應變 \(\varepsilon^c\)。
考慮潛變的構成式通常使用潛變應變速率 \(\dot{\varepsilon}^c\)，其定義為應力與總潛變應變的函數。
\[
\dot{\varepsilon}^c \equiv \frac{\partial \varepsilon^c}{\partial t} = \beta(\sigma, \varepsilon^c)
\]
若瞬時發生的應變為彈性應變 \(\varepsilon^e\)，則總應變可表示為下式，即加上潛變應變之和。
\[
\varepsilon = \varepsilon^e + \varepsilon^c
\]
其中，
\[
\varepsilon^e = c^{-1} : \sigma
\]
（\(c\) 為彈性係數張量）。
Norton 定律
作為潛變構成式的具體形式，FrontISTR 採用以下 Norton 模型。
其構成式將等效潛變應變速率 \(\dot{\varepsilon}^{cr}\) 表示為 Mises 應力 \(q\) 與時間 \(t\) 的函數，如下式所示。
\[
\dot{\varepsilon}^{cr} = A q^n t^m
\]
其中 \(A\)、\(m\)、\(n\) 為材料常數。
時間積分與應力更新
與塑性材料相同，對呈現潛變的構成式也必須給出數值分析上的時間積分方法。
考慮潛變時的構成式為
\[
\sigma_{n+1} = c : (\varepsilon_{n+1} - \varepsilon_{n+1}^c)
\]
\[
\varepsilon_{n+1}^c = \varepsilon_n^c + \Delta t \, \beta_{n+\theta}
\]
其中 \(\beta_{n+\theta}\) 為
\[
\beta_{n+\theta} = (1 - \theta) \beta_n + \theta \beta_{n+1}
\]
此外，潛變應變增量 \(\Delta \varepsilon^c\) 由簡化後的非線性方程式
\[
R_{n+1} = \varepsilon_{n+1} - c^{-1} : \sigma_{n+1} - \varepsilon_n^c - \Delta t \, \beta_{n+\theta} = \mathbf{0}
\]
定義。
在 Newton-Raphson 法的反覆計算中，以 \(\sigma_{n+1} = \sigma_n\) 作為初始值，並採用由有限元素法求得的應變增量，則反覆解與增量解為下式。
\[
R_{n+1}^{(k+1)} = \mathbf{0} = R_{n+1}^{(k)} - (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c) \, d\sigma_{n+1}^{(k)}
\]
其中，
\[
c_{n+1}^c = \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+\theta} = \theta \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+1}
\]
如此定義。
當以反覆法計算至殘差 \(R\) 成為 \(\mathbf{0}\) 時，使用應力 \(\sigma_{n+1}\) 與切線係數
\[
c_{n+1}^* = (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c)^{-1}
\]
。
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