求解器與前處理¶

FrontISTR 的線性求解器可選擇直接法或反覆法；反覆法會搭配前處理器來求解線性方程式。MPC 處理方式與接觸自由度消去則是輔助選項，用於決定含有多點約束或接觸約束的線性系統要以何種形式處理。

功能概觀¶

求解器與前處理由以下選項構成。首先在線性求解器中選擇反覆法或直接法，只有選擇反覆法時才搭配前處理器。

類別	主要選項	作用
反覆法	`CG`, `BiCGSTAB`, `GMRES`, `GPBiCG`, `GMRESR`, `GMRESREN`	以較高的記憶體效率求解大型稀疏矩陣。
反覆法用前處理器	SSOR、對角縮放、BILU、AMG、SAINV、RIF	改善反覆法的收斂性。直接法不使用。
直接法	`MUMPS`, `MKL`	透過分解穩健地求解線性方程式。
MPC 處理方式	懲罰法、MPC-CG 法、顯式自由度消去法	將多點約束反映到線性系統中。
接觸自由度消去	自動、始終啟用	切換 SLAGRANGE 接觸所新增接觸自由度的處理方式。
輔助功能	條件數估算、矩陣傾印、記錄輸出	輔助除錯、收斂性確認與效能評估。

平行執行時，可結合以區域分割為基礎的 MPI 平行與 OpenMP 執行緒平行。反覆法是大型平行分析的標準選項；直接法則用於已連結相應程式庫且需要更穩健求解的環境。

求解器與前處理器的選擇方式¶

首先決定使用反覆法或直接法；若選擇反覆法，再接著選擇前處理器。

判斷軸	建議考量
問題規模	中小型問題使用直接法較穩定且容易處理。大型問題則反覆法的記憶體效率較佳。
矩陣對稱性	對稱正定問題可考慮 `CG`。非對稱問題可考慮 `BiCGSTAB`、`GMRES`、`GPBiCG` 等。
平行環境	MPI 平行時結合反覆法與區域分割。OpenMP 平行下的前處理可考慮支援多色法的 SSOR。
前處理器（選擇反覆法時）	先嘗試預設的 SSOR，再考慮 AMG。收斂良好時 SSOR 計算較輕量；複雜的大型問題則適合 AMG 前處理。
接觸與 MPC	含接觸分析或多點約束的分析中，MPC 處理方式與接觸自由度消去的選擇會影響收斂性與穩健性。
外部程式庫	`MUMPS`、`MKL`、AMG 可在連結相應程式庫的建置中使用。

一般分析中，收斂判定值、最大反覆次數、前處理器的對角修正係數等維持預設值通常即可正常運作。僅在收斂緩慢或發散時，才依序重新檢視反覆法、前處理器、MPC 處理方式與接觸自由度消去。參數值與格式請參閱關鍵字參考的 !SOLVER。

反覆法¶

反覆法針對大型稀疏矩陣，透過反覆執行矩陣向量乘積與前處理來更新解。FrontISTR 可選擇以下反覆法。

反覆法	適用指標	備註
`CG`	對稱正定問題	結構分析與熱傳導分析的標準候選方法。
`BiCGSTAB`	非對稱問題	接觸或耦合造成強烈非對稱性時的候選方法。
`GMRES`	非對稱問題	指定 Krylov 子空間大小後使用。
`GPBiCG`	非對稱問題	作為 `BiCGSTAB` 系列的改良方法使用。
`GMRESR`	非對稱問題、進階用途	以巢狀方式使用 `GMRES` 的選項。
`GMRESREN`	非對稱問題、進階用途	`GMRESR` 系列的遞迴版本。

CG 的前提是矩陣為對稱正定。若摩擦接觸、非對稱約束處理、耦合效應等造成強烈非對稱性，可考慮 BiCGSTAB、GMRES、GPBiCG 等。GMRES 增大 Krylov 子空間大小有時能改善收斂性，但記憶體使用量也會增加。

指定 METHOD2 後，當 CG 發散或失效時可切換至替代反覆法。此功能是以 CG 為主要求解器時的備援機制，其餘設定值與資料行沿用主要求解器的設定。

前處理¶

前處理是為改善反覆法收斂性而轉換係數矩陣的處理，只在選擇反覆法時套用。直接法不使用前處理。即使使用相同反覆法，不同前處理器也可能大幅改變收斂所需的反覆次數與計算時間。

前處理器	特徵	適用指標
SSOR	標準前處理器。支援多色排序。	優先嘗試的候選方法。廣泛用於結構分析。
對角縮放	使用對角成分的輕量前處理器。	希望降低計算成本時。
BILU	以區塊為單位的不完全 LU 分解。	SSOR 難以收斂之問題的候選方法。
AMG	使用 Trilinos-ML 的代數多重網格法。	大型問題或由階層性誤差成分主導之問題的候選方法。
SAINV	Sparse Approximate Inverse。	接觸問題或分散式記憶體環境中的特殊前處理候選方法。
RIF	Robust Incomplete Factorization。	不完全分解系列的另一候選方法。

SSOR 是標準選項，OpenMP 平行時使用多色排序版本。對角縮放較輕量，但改善收斂的效果依問題而異。BILU 實作為以區塊為單位的不完全 LU 分解，也支援一般 DOF 的矩陣。BILU 系列在反覆法發散時，有自動增加對角修正係數 SIGMA_DIAG 並重試的路徑；值的指定方式請參閱關鍵字參考。

AMG 使用 Trilinos-ML，因此建置時必須啟用 ML。可指定平滑器、多重網格循環、粗化方法等，詳細值請參閱關鍵字參考。若在含接觸問題或 MPC 的平行分析中使用 SAINV，區域分割時的重疊深度有時會影響收斂性。

直接法¶

直接法透過分解係數矩陣來求解線性方程式。由於不依賴反覆次數，因此較為穩健，在含接觸分析或約束條件的分析中可作為穩定選項。另一方面，問題規模增大時，記憶體使用量也會增加。

直接法	平行環境	用途
`MUMPS`	MPI 平行	在分散式記憶體環境中以直接法求解稀疏矩陣。
`MKL`	Intel MKL / OpenMP	Intel MKL 的直接法。內部使用 Intel PARDISO。多個 MPI 程序時使用 Cluster MKL 路徑。`DIRECTmkl` 是 `MKL` 的別名。

直接法可用於對稱與非對稱矩陣。MUMPS 與 MKL 必須在建置時連結相應程式庫。沒有這些程式庫的環境無法使用，因此所需相依程式庫與 CMake 選項請參閱建置指南。

FrontISTR 也有不使用外部程式庫的內建直接法路徑，但一般分析選擇直接法時，通常應優先考慮 MUMPS 或 MKL。

直接法不套用前處理。即使在 !SOLVER 指定前處理器，直接法路徑也不會參照該設定。

MPC 處理方式¶

MPC 處理方式是將由多點約束連接的自由度反映到線性方程式中的方法。即使輸入中的約束式相同，不同處理方式也會改變係數矩陣的性質與收斂性。

MPC 處理方式	定位	預設用途
懲罰法	對約束式加入較大的剛性，以近似滿足約束。	直接法的預設值。
MPC-CG 法	在反覆法內處理含約束之矩陣向量乘積的舊式方法。	不建議使用。
顯式自由度消去法	消去受約束自由度，求解縮減後的線性系統。	反覆法的預設值。

直接法預設使用懲罰法，反覆法預設使用顯式自由度消去法。MPC-CG 法是為相容性保留的舊式選項；一般新分析應使用顯式自由度消去法或所選直接法的預設處理。

MPC 處理方式可透過 !SOLVER 的 MPCMETHOD 明確指定。各值的意義與格式請參閱關鍵字參考。

接觸自由度消去¶

接觸自由度消去是在將線性系統交給線性求解器前，先縮減 SLAGRANGE 接觸新增的接觸自由度。消去接觸自由度有時可改善反覆法所處理線性系統的性質。

預設的自動模式下，使用反覆法時會進行接觸自由度消去，使用直接法時則不進行。直接法提供直接處理含接觸自由度之擴展系統的路徑。

明確指定 CONTACT_ELIM 後，即使使用直接法也可進行接觸自由度消去。輸入端對接觸類型、接觸配對、接觸演算法的選擇，請參閱接觸與嵌入頁面。

輔助功能¶

可利用條件數估算、矩陣傾印與記錄輸出來調查求解器的收斂性與效能。一般分析不需要這些功能，主要在除錯或效能評估時啟用。

功能	用途	備註
條件數估算	在 `CG` 與 `GMRES` 中輸出條件數指標。	可在啟用 LAPACK 的建置中使用。
矩陣傾印	將交給求解器的矩陣與右側向量儲存至檔案。	支援 Matrix Market、CSR、BSR 格式。
`DUMPEXIT`	矩陣傾印後結束分析。	僅取出矩陣供外部驗證時使用。
`ITERLOG`	輸出反覆法的收斂歷程。	用於確認殘差變化。
`TIMELOG`	輸出求解器計算時間。	`VERBOSE` 會輸出更詳細的明細。
`STEPLOG`	輸出步驟資訊。	用於確認分析程序。

矩陣傾印是用外部工具確認分析所組裝係數矩陣的功能。啟用 DUMPEXIT 後，會在儲存矩陣與右側向量時結束分析。條件數估算是可用於 CG 與 GMRES 的試驗性功能，用於診斷收斂性。