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形狀函數與有限元素近似

為了在電腦上處理虛功原理的弱形式，將物體區域分割為有限個元素，並以節點值與形狀函數對元素內的物質點座標、位移及測試函數進行內插。形狀函數的空間微分請參閱形狀函數的空間微分，弱形式的離散化請參閱內力虛功的離散化，各元素類型之形狀函數的具體形式則請參閱元素編號體系與形狀函數庫及其後各節。

區域分割與積分的元素和

將參考組態的區域 \(\Omega_0\) 與目前組態的區域 \(\Omega\)，分別以元素 \(\Omega^e_0\)、\(\Omega^e\) 的聯集來近似：

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

（\(e\) 為元素編號，元素邊界由相鄰元素共享）。如此一來，虛功原理中的體積積分與面積積分便可分解為各元素積分之和：

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

（對目前組態亦同，只需將 \(dV \to dv\)、\(\Omega^e_0 \to \Omega^e\)、\(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\) 替換即可）。以下弱形式的評估便歸結為逐元素建立積分。

以節點值與形狀函數進行內插（等參元素）

每個元素 \(\Omega^e_0\) 配置 \(n_e\) 個節點。令元素節點 \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) 的參考組態座標與節點位移分別為 \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\)，將其排列而成的元素節點向量 \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\)、\(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\)，是從全域節點向量 \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\)（\(n_g\) 為總節點數）中，僅抽取構成元素 \(e\) 之節點分量所得。

以元素內局部座標，即自然座標 \(\boldsymbol{r}\) 為參數，利用形狀函數 \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\)，以同一組形狀函數內插元素內的物質座標、位移與測試函數（等參元素、Galerkin 法）：

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

形狀函數需構造成滿足下列兩項性質，並選擇元素形狀，使自然座標至物質座標的映射 \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) 在元素內為一對一：

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

（\(\boldsymbol{r}_\alpha\) 為對應節點 \(\alpha\) 的自然座標點，\(\delta_{\alpha\beta}\) 為 Kronecker delta）。第一式保證剛體平移的再現性，第二式保證內插值在節點處與節點值一致。各元素類型的 \(n_e\)、\(N_\alpha^e\) 具體形式請參閱元素編號體系與形狀函數庫及其後各節。為避免記號過於繁複，元素類型的相依性以各元素的上標 \(e\) 代表。

依照以上內插規則，弱形式的被積分函數可以只用元素節點值 \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) 與 \(N_\alpha^e\) 表示。另一方面，應變是由內插後的位移與應變－位移關係導出，而應力則由該應變與材料構成定律導出，並非直接由節點值內插所得。這些量在元素內的積分點進行評估（數值積分）。

全域節點向量的排列規則

配置於節點的物理量，在全域節點向量中按照節點編號 → 自由度的順序遞增排列。若節點 \(\alpha\) 的自由度 \(i\) 分量記為 \(u_{i\alpha}\)，則三維（\(i=1,2,3\)）與二維（\(i=1,2\)）分別為

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]
\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

座標 \(\boldsymbol{X}^n\) 與測試函數 \(\delta\boldsymbol{u}^n\) 也遵循相同排列方式。以下矩陣與向量形式的式子推導，將以三維情況作為代表來記述。

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