運動、變形與應變¶

參考配置與現配置¶

配置的定義¶

為了區分描述物理量時以「哪個時刻的形狀」為基準，本手冊使用兩種配置。

參考配置（reference configuration）：分析開始時（時刻 \(0\)）變形前的形狀（亦稱為初始配置）。參考配置中的點以物質座標 \(\boldsymbol{X}\) 表示，體積記為 \(V\)，表面記為 \(S\)。
現配置（current configuration）：時刻 \(t\) 的變形後形狀。現配置中的點以空間座標 \(\boldsymbol{x}\) 表示，體積記為 \(v\)，表面記為 \(s\)。

運動表示為這兩個配置之間的映射 \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\)，位移定義為 \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\)。

依配置而定的符號規約（大寫／小寫）¶

以符號的大小寫區分物理量所屬的配置。

屬於參考配置的量以大寫表示（例如：\(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)）。
屬於現配置的量以小寫表示（例如：\(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)）。
如第 1 Piola-Kirchhoff 應力 \(\boldsymbol{P}\) 這類跨越兩個配置的量，採用慣用符號，並在正文中視需要明確說明。
在微小變形理論中，兩個配置的區別消失，因此僅使用小寫符號（\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)）。

參考配置梯度與現配置梯度¶

空間微分相對於哪一個配置取得，會使符號與意義有所不同。

參考配置梯度 \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\)：相對於物質座標的梯度。例如：\(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\)。
現配置梯度 \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\)：相對於空間座標的梯度。例如：\(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\)。

兩者由 \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\) 相互關聯。時間微分的規約（物質時間微分 \(\dot{(\cdot)}\)）請參閱張量記法與數學基礎。

運動的描述¶

運動映射與物質描述／空間描述¶

若將連續體視為由以時刻 \(0\) 的位置 \(\boldsymbol{X}\) 作為標籤的物質點集合，則運動藉由將物質點 \(\boldsymbol{X}\) 對應至其在時刻 \(t\) 的位置 \(\boldsymbol{x}\) 的映射 \(\phi\) 表示為

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

在將參考配置取為初始配置的規約下，\(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\)。

依獨立變數的選擇，可區分為兩種描述。

物質描述（Lagrange 描述）：將物理量表示為 \((\boldsymbol{X}, t)\) 的函數。在固體力學中，由於參考配置以固定形狀給定，因此這是自然的選擇。
空間描述（Euler 描述）：將物理量表示為 \((\boldsymbol{x}, t)\) 的函數。此描述在流體力學中為標準用法。

FrontISTR 的結構分析基本上以物質描述為基礎，但 Updated Lagrange 法會將現配置作為新的參考配置，因此也會併用空間描述的量。

位移、速度與加速度¶

如前節所述，位移 \(\boldsymbol{u}\) 定義為 \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\)。不對其大小作任何假設，因此涵蓋有限變形。速度向量與加速度向量定義為固定物質點時 \(\boldsymbol{u}\) 的物質時間微分：

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

以上各式分別定義速度與加速度。

變形梯度與變形張量¶

變形梯度張量¶

有限變形連續體力學中的基本量為變形梯度張量 \(\boldsymbol{F}\)。它是將參考配置中的微小線段 \(d\boldsymbol{X}\) 映射至現配置中的微小線段 \(d\boldsymbol{x}\) 的線性映射，並定義為運動映射相對於物質座標的梯度：

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

其定義如上（\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\)）。在未變形狀態下，\(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\)。\(\boldsymbol{F}\) 廣泛用於應變與應力的定義，以及配置之間物理量的轉換。

體積變化比¶

參考配置的微小體積 \(dV\) 與現配置對應微小體積 \(dv\) 的比值稱為體積變化比 \(J\)：

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

由連續體的可逆性假設 \(J > 0\)。質量守恆律表示為 \(\rho_0 = J\rho\)。

右、左 Cauchy-Green 變形張量¶

由於變形梯度 \(\boldsymbol{F}\) 包含剛體旋轉，因此表示變形本身的量度使用排除剛體旋轉的量。右 Cauchy-Green 變形張量 \(\boldsymbol{C}\)（參考配置）與左 Cauchy-Green 變形張量 \(\boldsymbol{b}\)（現配置）定義為

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

兩者皆為對稱張量，且具有相同的特徵值（主伸長比的平方）。超彈性應變能函數的主不變量使用這些張量表示。

應變張量¶

Green-Lagrange 應變張量¶

作為以參考配置為基準的應變量度，Green-Lagrange 應變張量 \(\boldsymbol{E}\) 定義為

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

它是表示參考配置中微小向量內積變化的對稱張量，對剛體旋轉保持不變，且在未變形狀態下滿足 \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\)。使用 \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\) 可得

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

因此可表示為位移梯度的一次項與二次項之和，其中二次項表示幾何非線性。在 Total Lagrange 法中，以功共軛對 \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) 使用。

Almansi 應變張量¶

作為以現配置為基準的應變量度，Almansi 應變張量 \(\boldsymbol{e}\) 定義為

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

它與 Green-Lagrange 應變由 \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\)（pull-back）相互關聯。

微小應變張量¶

當位移梯度很小（\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)）時，可忽略 Green-Lagrange 應變的二次項；此外，由於兩個配置的區別消失，因此可歸結為以空間座標表示梯度的微小應變張量 \(\boldsymbol{\varepsilon}\)：

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR 的線性靜態分析、模態分析、頻率響應分析與線性動態分析使用此應變量度。有限變形分析中，Total Lagrange 法使用 \(\boldsymbol{E}\)，Updated Lagrange 法則使用以現配置為基準的變形速率張量 \(\boldsymbol{D}\)。