الحركة والتشوه والانفعال¶

التهيئة المرجعية والتهيئة الحالية¶

تعريف التهيئات¶

للتمييز بين الشكل الزمني الذي يُتخذ أساسًا لوصف الكميات الفيزيائية، يستخدم هذا الدليل نوعين من التهيئات.

التهيئة المرجعية (reference configuration): الشكل غير المتشوه عند بدء التحليل (الزمن \(0\))، وتسمى أيضًا التهيئة الابتدائية. تُمثَّل نقطة في التهيئة المرجعية بـإحداثيات المادة \(\boldsymbol{X}\)، ويكون الحجم \(V\) والسطح \(S\).
التهيئة الحالية (current configuration): الشكل المتشوه عند الزمن \(t\). تُمثَّل نقطة في التهيئة الحالية بـالإحداثيات المكانية \(\boldsymbol{x}\)، ويكون الحجم \(v\) والسطح \(s\).

تُمثَّل الحركة بتحويل بين هاتين التهيئتين، \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\)، وتُعرَّف الإزاحة بـ\(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\).

اصطلاح الرموز المعتمد على التهيئة (الأحرف الكبيرة/الصغيرة)¶

يُميَّز بالرمز الكبير أو الصغير بين التهيئة التي تنتمي إليها الكمية الفيزيائية.

تُكتب الكميات التابعة للتهيئة المرجعية بأحرف كبيرة (مثل: \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)).
تُكتب الكميات التابعة للتهيئة الحالية بأحرف صغيرة (مثل: \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)).
تُستخدم الرموز الاصطلاحية للكميات التي تمتد عبر التهيئتين، مثل إجهاد Piola-Kirchhoff الأول \(\boldsymbol{P}\)، ويُشار إليها صراحة في النص عند الحاجة.
في نظرية التشوه الصغير يزول التمييز بين التهيئتين، ولذلك تُستخدم الرموز الصغيرة فقط (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)).

تدرج التهيئة المرجعية وتدرج التهيئة الحالية¶

يختلف الرمز والمعنى باختلاف التهيئة التي تُؤخذ المشتقة المكانية بالنسبة إليها.

تدرج التهيئة المرجعية \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): التدرج بالنسبة إلى إحداثيات المادة. مثال: \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\).
تدرج التهيئة الحالية \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): التدرج بالنسبة إلى الإحداثيات المكانية. مثال: \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\).

يرتبط التدرجان بالعلاقة \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). ولاصطلاح المشتقة الزمنية (المشتقة الزمنية المادية \(\dot{(\cdot)}\))، انظر ترميز الموترات والأسس الرياضية.

وصف الحركة¶

تحويل الحركة والوصف المادي/المكاني¶

إذا اعتُبر الوسط المتصل مجموعةً من النقاط المادية الموسومة بمواضعها \(\boldsymbol{X}\) عند الزمن \(0\)، فإن الحركة تُمثَّل بتحويل \(\phi\) يربط النقطة المادية \(\boldsymbol{X}\) بموضعها \(\boldsymbol{x}\) عند الزمن \(t\) على النحو التالي:

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

ويُمثَّل بذلك. ووفق الاصطلاح الذي يتخذ التهيئة المرجعية تهيئةً ابتدائية، يكون \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\).

يُميَّز نوعان من الوصف بحسب اختيار المتغيرات المستقلة.

الوصف المادي (وصف Lagrange): يعبّر عن الكميات الفيزيائية بوصفها دوالًا في \((\boldsymbol{X}, t)\). وهو اختيار طبيعي في ميكانيكا المواد الصلبة لأن التهيئة المرجعية تُعطى كشكل ثابت.
الوصف المكاني (وصف Euler): يعبّر عن الكميات الفيزيائية بوصفها دوالًا في \((\boldsymbol{x}, t)\). وهو الوصف القياسي في ميكانيكا الموائع.

يعتمد التحليل الإنشائي في FrontISTR أساسًا على الوصف المادي، إلا أن طريقة Updated Lagrange تستخدم أيضًا كميات الوصف المكاني لأنها تتخذ التهيئة الحالية تهيئةً مرجعية جديدة.

الإزاحة والسرعة والتسارع¶

كما في القسم السابق، تُعرَّف الإزاحة \(\boldsymbol{u}\) بالعلاقة \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\). ولا يُفترض شيء بشأن مقدارها، ولذلك يشمل التعامل التشوه المحدود. ويُعرَّف متجه السرعة ومتجه التسارع بوصفهما مشتقتين زمنيتين ماديتين لـ\(\boldsymbol{u}\) مع تثبيت النقطة المادية:

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

وبذلك تُعرَّفان.

تدرج التشوه وموترات التشوه¶

موتر تدرج التشوه¶

الكمية الأساسية في ميكانيكا الأوساط المتصلة ذات التشوه المحدود هي موتر تدرج التشوه \(\boldsymbol{F}\). وهو تحويل خطي ينقل عنصر خط متناهي الصغر \(d\boldsymbol{X}\) في التهيئة المرجعية إلى عنصر خط متناهي الصغر \(d\boldsymbol{x}\) في التهيئة الحالية، ويُعرَّف بوصفه تدرج تحويل الحركة بالنسبة إلى إحداثيات المادة:

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

ويُعرَّف بذلك (\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\)). في الحالة غير المتشوهة يكون \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\). ويُستخدم \(\boldsymbol{F}\) على نطاق واسع في تعريف الانفعال والإجهاد وتحويل الكميات الفيزيائية بين التهيئات.

نسبة تغير الحجم¶

تسمى نسبة الحجم المتناهي الصغر \(dV\) في التهيئة المرجعية إلى الحجم المتناهي الصغر الموافق \(dv\) في التهيئة الحالية نسبة تغير الحجم \(J\)، وتُعطى بـ

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

وتُعطى بذلك. ومن قابلية الانعكاس للوسط المتصل يُفترض \(J > 0\). ويُعبَّر عن حفظ الكتلة بالعلاقة \(\rho_0 = J\rho\).

موترَا التشوه Cauchy-Green الأيمن والأيسر¶

لأن تدرج التشوه \(\boldsymbol{F}\) يتضمن دوران الجسم الصلب، تُستخدم لقياس التشوه نفسه كميات أزيل منها دوران الجسم الصلب. ويُعرَّف موتر التشوه Cauchy-Green الأيمن \(\boldsymbol{C}\) (في التهيئة المرجعية) وموتر التشوه Cauchy-Green الأيسر \(\boldsymbol{b}\) (في التهيئة الحالية) كما يلي:

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

وكلاهما موتر متماثل ولهما القيم الذاتية نفسها (مربعات نسب الاستطالة الرئيسية). وتُعطى الثوابت الرئيسية لدوال طاقة الانفعال فائقة المرونة باستخدام هذين الموترين.

موترات الانفعال¶

موتر انفعال Green-Lagrange¶

بوصفه مقياس انفعال مرجعه التهيئة المرجعية، يُعرَّف موتر انفعال Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) بـ

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

وهو موتر متماثل يمثل تغير الجداء الداخلي للمتجهات المتناهية الصغر في التهيئة المرجعية، وهو ثابت تجاه دوران الجسم الصلب، ويكون \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\) في الحالة غير المتشوهة. وباستخدام \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\) نحصل على

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

فيُعبَّر عنه كمجموع حدين من الرتبتين الأولى والثانية في تدرج الإزاحة، ويمثل الحد من الرتبة الثانية اللاخطية الهندسية. وفي طريقة Total Lagrange يُستخدم زوجًا مترافقًا للشغل \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

موتر انفعال Almansi¶

بوصفه مقياس انفعال مرجعه التهيئة الحالية، يُعرَّف موتر انفعال Almansi \(\boldsymbol{e}\) بـ

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

ويرتبط بانفعال Green-Lagrange بالعلاقة \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (pull-back).

موتر الانفعال المتناهي الصغر¶

عندما يكون تدرج الإزاحة صغيرًا (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\))، يمكن إهمال الحد من الرتبة الثانية في انفعال Green-Lagrange، كما يزول التمييز بين التهيئتين؛ ومن ثم يُختزل إلى موتر الانفعال المتناهي الصغر \(\boldsymbol{\varepsilon}\) مع كتابة التدرج بالنسبة إلى الإحداثيات المكانية:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

يستخدم FrontISTR مقياس الانفعال هذا في التحليل الساكن الخطي، والتحليل النمطي، وتحليل الاستجابة الترددية، والتحليل الديناميكي الخطي. وفي تحليل التشوه المحدود يُستخدم \(\boldsymbol{E}\) في طريقة Total Lagrange، بينما يُستخدم موتر معدل التشوه \(\boldsymbol{D}\) المرجعي إلى التهيئة الحالية في طريقة Updated Lagrange.