انتقل إلى المحتوى

دوال الشكل للعناصر الصلبة ثلاثية الأبعاد

يلخص هذا الفصل أنظمة الإحداثيات الطبيعية والصيغ الصريحة لدوال الشكل \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) المقدمة في دوال الشكل وتقريب العناصر المحدودة للعناصر الصلبة ثلاثية الأبعاد التي يستخدمها FrontISTR في تحليل الأوساط المتصلة. والأنواع الستة للعناصر هي رباعيات السطوح من الرتبتين الأولى/الثانية (341/342)، والمناشير الثلاثية من الرتبتين الأولى/الثانية (351/352)، وسداسيات السطوح من الرتبتين الأولى/الثانية (361/362). راجع مكتبة العناصر في مرجع الوظائف لمعرفة ترتيب العقد وأرقام الأوجه في تنسيق شبكة HEC-MW.

يتبع إجراء إنشاء تكامل العنصر من دوال الشكل هذه ومحدد جاكوبي التكامل العددي. أما صيغ B-bar وF-bar والصيغة غير المتوافقة للعنصر 361، إضافة إلى دوال الشكل لعناصر العوارض والقشريات، فتُشرح في صيغ العناصر المتقدمة.

أنظمة الإحداثيات الطبيعية وترتيب العقد الداخلي

تُعرَّف دوال الشكل على الإحداثيات الطبيعية \(\boldsymbol{r}\) لكل عنصر. تستخدم العناصر الصلبة ثلاثية الأبعاد أنظمة الإحداثيات الطبيعية الثلاثة التالية بحسب شكل العنصر.

  • سداسيات السطوح (361/362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\)، \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\).
  • رباعيات السطوح (341/342): إحداثيات حجمية \((L_1, L_2, L_3, L_4)\)، حيث \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\) و\(L_i \ge 0\). وباعتبار \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\) متغيرات مستقلة، يكون \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\).
  • المناشير الثلاثية (351/352): تجمع الإحداثيات الحجمية \((\xi, \eta)\) للمثلث القاعدي (\(0 \le \xi, \eta\)، \(\xi + \eta \le 1\)) مع الإحداثي المحوري \(\zeta \in [-1, 1]\) لتكوين \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\). وتُستخدم الكمية المساعدة \(a = 1 - \xi - \eta\) كالإحداثي الحجمي الثالث على القاعدة.

بالنسبة إلى عناصر الرتبة الأولى، يكون ترقيم عقد العنصر متماثلًا في تنسيق إدخال HEC-MW والتنسيق الداخلي. أما في عناصر الرتبة الثانية فتختلف اصطلاحات ترتيب العقد الوسطية على الأضلاع. يقبل FrontISTR تنسيق HEC-MW كإدخال (تُسرد عقد الزوايا حول العنصر، ثم العقد الوسطية بترتيب الأضلاع 1-2، 2-3، …)، بينما تُنفَّذ دوال الشكل في مكتبة العناصر بافتراض ترتيب مختلف للعقد.

يُحل الاختلاف بين التنسيقين بواسطة hecmw2fstr_mesh_conv، الذي يُستدعى مباشرة بعد إدخال الشبكة ويعيد ترتيب العقد لكل عنصر. ومن بين العناصر الصلبة ثلاثية الأبعاد، يُحوَّل النوعان التاليان.

نوع العنصر جدول التحويل الوصف
342 (رباعي سطوح من الرتبة الثانية) Table342 يعيد ترتيب العقد العشر إلى \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\)
352 (منشور ثلاثي من الرتبة الثانية) Table352 يعيد ترتيب العقد الخمس عشرة إلى \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\)

ولأن إعادة الترتيب تُجرى مباشرة على المصفوفة التي تخزن اتصال العناصر، فإن جميع الاستدعاءات اللاحقة لمكتبة العناصر تستخدم ترتيب العقد الداخلي لـ FrontISTR. بالنسبة إلى العنصر سداسي السطوح من الرتبة الثانية 362، لا يوجد جدول تحويل لأن ترتيب العقد الوسطية في إدخال HEC-MW والتنسيق الداخلي لـ FrontISTR متماثل. وعند إخراج النتائج، يعيد التحويل العكسي fstr2hecmw_mesh_conv ترتيب عقد HEC-MW قبل الكتابة، ولذلك لا يحتاج المستخدم إلا إلى مراعاة تنسيق HEC-MW لكل من الإدخال والإخراج. تستخدم أرقام العقد في دوال الشكل أدناه التنسيق الداخلي المحوَّل لـ FrontISTR.

دوال الشكل لعناصر الرتبة الأولى

بالنسبة إلى العنصر رباعي السطوح من الرتبة الأولى (341)، تكون دوال الشكل هي الإحداثيات الحجمية نفسها:

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

بالنسبة إلى عنصر المنشور الثلاثي من الرتبة الأولى (351)، تكون دوال الشكل حاصل ضرب دوال الشكل الخطية للمثلث القاعدي (\(a, \xi, \eta\)) ودوال الشكل المحورية الخطية (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)):

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

بالنسبة إلى العنصر سداسي السطوح من الرتبة الأولى (361)، تكون دوال الشكل ضروبًا موترية لدوال الشكل الخطية في اتجاهات الإحداثيات الثلاثة:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

هنا تمثل \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) قيم الإحداثيات الطبيعية للعقدة \(\alpha\) (كل مركبة تساوي \(\pm 1\)).

دوال الشكل لعناصر الرتبة الثانية

بالنسبة إلى العنصر رباعي السطوح من الرتبة الثانية (342)، تنقسم دوال الشكل إلى أربع عقد زاوية وست عقد وسطية على الأضلاع:

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

تقابل العقد الوسطية 5–10 على الترتيب نقاط منتصف الأضلاع 1-2 و2-3 و1-3 و1-4 و2-4 و3-4.

يتكون عنصر المنشور الثلاثي من الرتبة الثانية (352) من ست عقد زاوية، وست عقد وسطية على الأوجه المثلثية، وثلاث عقد وسطية على الأضلاع المحورية:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

تقابل العقد الوسطية 7–9 نقاط منتصف أضلاع المثلث السفلي (\(\zeta = -1\))، والعقد 10–12 نقاط منتصف أضلاع المثلث العلوي (\(\zeta = +1\))، والعقد 13–15 نقاط منتصف الأضلاع المحورية.

العنصر سداسي السطوح من الرتبة الثانية (362) هو عنصر ذو 20 عقدة من عائلة Serendipity. ولتكن قيم الإحداثيات الطبيعية للعقدة \(\alpha\) هي \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\). بالنسبة إلى عقد الزوايا (\(\alpha = 1, \ldots, 8\)، وكل مركبة تساوي \(\pm 1\))،

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

بالنسبة إلى العقد الوسطية (\(\alpha = 9, \ldots, 20\)، حيث يساوي أحد الإحداثيات الطبيعية الثلاثة \(0\) ويساوي الآخران \(\pm 1\))، فإن العقد التي تحقق \(\xi_\alpha = 0\) (الأضلاع الموجهة في اتجاه \(\xi\)) لها:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

تُعطى العقد الوسطية التي يكون اتجاه ضلعها محور \(\eta\) أو \(\zeta\) بالطريقة نفسها، مع حذف الإحداثي الطبيعي المقابل بواسطة الحد المربع.

مواضيع ذات صلة