اللدونة المرنة

يصف هذا الفصل إطار قانون السلوك اللدن المرن المعتمد في FrontISTR. ولتفاصيل الاختيار ومواصفات الإدخال، راجع 03_material في قسم الوظائف.

الظاهرة (التشوه اللدن)

TBD (سيُكتب في المرحلة التالية).

إطار قانون السلوك

يعتمد FrontISTR معادلة سلوك لدن مرن قائمة على قاعدة تدفق مترابطة. تعبر معادلة السلوك عن العلاقة بين معدل Jaumann لإجهاد Kirchhoff وموتر معدل التشوه، ويستخدم تحليل التشوه صياغة Updated Lagrange.

لنفترض أن شرط الخضوع لمادة لدنة مرنة يُعطى كما يلي.

شرط الخضوع الابتدائي:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

شرط الخضوع اللاحق:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

حيث

• \(F\): دالة الخضوع
• \(\sigma_{y_0}\): إجهاد الخضوع الابتدائي
• \(\sigma_y\): إجهاد الخضوع اللاحق
• \(\sigma\): موتر الإجهاد
• \(e\): موتر الانفعال المتناهي الصغر
• \(e^p\): موتر الانفعال اللدن
• \(\overline{e}^p\): الانفعال اللدن المكافئ

يُفترض أن تتطابق علاقة إجهاد الخضوع–الانفعال اللدن المكافئ مع علاقة الإجهاد–الانفعال اللدن في حالة أحادية المحور.

علاقة الإجهاد–الانفعال اللدن في حالة أحادية المحور

\[ \sigma = H(e^p) \]

\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

حيث إن \(H'\) هو معامل التصلد بالانفعال.

علاقة الإجهاد المكافئ–الانفعال اللدن المكافئ

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]

\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

عمومًا، تكون دالة الخضوع اللاحقة دالة في درجة الحرارة وشغل الانفعال اللدن، لكن للتبسيط يُفترض هنا أنها دالة فقط في الانفعال اللدن المكافئ \(\overline{e}^p\). أثناء تطور التشوه اللدن، يجب أن يظل \(F = 0\) متحققًا، ولذلك يجب تحقق المعادلة التالية.

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

هنا، يشير \(\dot{F}\) إلى المشتقة الزمنية لـ \(F\). وفيما يلي يُرمز إلى المشتقة الزمنية لأي كمية \(A\) بالرمز \(\dot{A}\).

لنفترض وجود جهد لدن \(\Theta\)، ولنعبر عن معدل الانفعال اللدن بالمعادلة التالية.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

هنا، \(\dot{\lambda}\) معامل.

كذلك، بافتراض أن الجهد اللدن \(\Theta\) يساوي دالة الخضوع \(F\)، تُستخدم قاعدة التدفق المترابطة التالية.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

بالتعويض عن هذه المعادلة في شرط الاتساق، نحصل على المعادلة التالية.

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

هنا، \(D\) هي مصفوفة المرونة، و

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

يمكن كتابة علاقة الإجهاد-الانفعال اللدنة المرنة كما يلي.

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

بمجرد معرفة دالة الخضوع \(F\) للمادة اللدنة المرنة، تُستخرج معادلة سلوكها من هذا التعبير.

دوال الخضوع

تُسرد أدناه دوال الخضوع اللدنة المرنة المعتمدة في FrontISTR.

دالة خضوع Von Mises

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

هنا، \(J_2\) هو الثابت الثاني لموتر الإجهاد الانحرافي.

دالة خضوع Mohr-Coulomb

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

هنا، \(\sigma_1, \sigma_3\) هما الإجهادان الرئيسيان الأقصى والأدنى، و\(c\) هو التماسك، و\(\phi\) هي زاوية الاحتكاك الداخلي.

دالة خضوع Drucker-Prager

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

هنا، يُحسب الثابتان الماديان \(\alpha\) و\(\sigma_y\) من تماسك المادة وزاوية الاحتكاك كما يلي.

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]

موضوعات ذات صلة

• المرونة الخطية — الاستجابة المرنة (الجزء المرن من اللدونة المرنة)
• مصفوفة الصلابة المماسية — الصلابة المماسية للتحليل التزايدي الذي يتضمن اللاخطية المادية
• بيانات المادة (الوظائف) — خيارات دوال الخضوع وقوانين التصلد وكيفية اختيارها