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Elastoplasticidad

Este capítulo describe el marco de la ley constitutiva elastoplástica adoptada por FrontISTR. Para obtener detalles sobre la selección y las especificaciones de entrada, consulte 03_material en la sección de Funciones.

Fenómeno (deformación plástica)

TBD (se redactará en la siguiente fase).

Marco de la ley constitutiva

FrontISTR adopta una ecuación constitutiva elastoplástica basada en una regla de flujo asociada. La ecuación constitutiva expresa la relación entre la tasa de Jaumann de la tensión de Kirchhoff y el tensor de velocidad de deformación, y el análisis de deformación utiliza la formulación lagrangiana actualizada.

Supóngase que la condición de fluencia de un material elastoplástico viene dada de la siguiente forma.

Condición de fluencia inicial:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

Condición de fluencia posterior:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

donde

  • \(F\): función de fluencia
  • \(\sigma_{y_0}\): tensión de fluencia inicial
  • \(\sigma_y\): tensión de fluencia posterior
  • \(\sigma\): tensor de tensiones
  • \(e\): tensor de deformaciones infinitesimales
  • \(e^p\): tensor de deformación plástica
  • \(\overline{e}^p\): deformación plástica equivalente

Se supone que la relación tensión de fluencia–deformación plástica equivalente coincide con la relación tensión–deformación plástica en un estado uniaxial.

Relación tensión–deformación plástica en un estado uniaxial

\[ \sigma = H(e^p) \]
\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

donde \(H'\) es el módulo de endurecimiento por deformación.

Relación tensión equivalente–deformación plástica equivalente

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]
\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

En general, la función de fluencia posterior depende de la temperatura y del trabajo de deformación plástica, pero por simplicidad se supone aquí que depende únicamente de la deformación plástica equivalente \(\overline{e}^p\). Durante el avance de la deformación plástica debe seguir cumpliéndose \(F = 0\) y, por tanto, debe satisfacerse la siguiente ecuación.

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

Aquí, \(\dot{F}\) representa la derivada temporal de \(F\). En lo sucesivo, la derivada temporal de una magnitud \(A\) se representa mediante \(\dot{A}\).

Supóngase la existencia de un potencial plástico \(\Theta\) y exprésese la velocidad de deformación plástica mediante la siguiente ecuación.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

Aquí, \(\dot{\lambda}\) es un coeficiente.

Además, suponiendo que el potencial plástico \(\Theta\) es igual a la función de fluencia \(F\), se utiliza la siguiente regla de flujo asociada.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

Al sustituir esta ecuación en la condición de consistencia se obtiene la siguiente ecuación.

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

Aquí, \(D\) es la matriz elástica, y

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

La relación tensión–deformación elastoplástica puede escribirse de la siguiente forma.

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

Una vez conocida la función de fluencia \(F\) del material elastoplástico, su ecuación constitutiva se obtiene a partir de esta expresión.

Funciones de fluencia

A continuación se enumeran las funciones de fluencia elastoplásticas adoptadas por FrontISTR.

Función de fluencia de von Mises

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

Aquí, \(J_2\) es el segundo invariante del tensor desviador de tensiones.

Función de fluencia de Mohr-Coulomb

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

Aquí, \(\sigma_1, \sigma_3\) son las tensiones principales máxima y mínima, \(c\) es la cohesión y \(\phi\) es el ángulo de fricción interna.

Función de fluencia de Drucker-Prager

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

Aquí, las constantes de material \(\alpha\) y \(\sigma_y\) se calculan a partir de la cohesión y el ángulo de fricción del material de la siguiente forma.

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]

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