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Principio de los trabajos virtuales

A partir de la ecuación de equilibrio y de las condiciones de contorno derivadas en Tensión y leyes de conservación, se deriva el principio de los trabajos virtuales, que constituye la forma débil del problema de valores de contorno de la mecánica de medios continuos. La discretización por elementos finitos parte de esta forma débil. Este capítulo presenta tanto la forma en la configuración actual (expresada mediante la tensión de Cauchy y la parte lineal de la deformación de Almansi) como la forma en la configuración de referencia (expresada mediante la segunda tensión de Piola-Kirchhoff y la deformación de Green-Lagrange), demuestra su equivalencia y, finalmente, confirma la reducción a pequeñas deformaciones.

Ecuación de equilibrio y condiciones de contorno

Sea \(\boldsymbol{g}\) la fuerza de volumen que actúa sobre el medio continuo por unidad de masa, y considérese un cuerpo que ocupa el dominio \(\Omega\) en la configuración actual. La frontera \(\Gamma\) se divide en la frontera geométrica en la que se prescribe el desplazamiento \(\bar{\boldsymbol{u}}\), \(\Gamma_B\), y la frontera mecánica en la que se prescribe la tracción \(\bar{\boldsymbol{t}}\), \(\Gamma_t\), con \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\) y \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\). Para un problema estático, la ecuación de equilibrio se obtiene omitiendo el término de inercia de la ley de conservación de la cantidad de movimiento mostrada en Tensión y leyes de conservación:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{en} \ \Omega \]

Las condiciones de contorno son

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{en} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{en} \ \Gamma_B \]

A continuación, el principio de los trabajos virtuales se deriva como forma débil de la ecuación de equilibrio y de la condición de contorno mecánica \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\). La condición de contorno geométrica \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) se incorpora mediante la elección de la función de prueba.

Forma débil en la configuración actual

En la forma débil, defina respectivamente el espacio admisible para el desplazamiento incógnita y el espacio de funciones de prueba como

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{en} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{en} \ \Gamma_B \} \]

Aquí, \(d\) es la dimensión espacial, \(H^1(\Omega)\) es el espacio de Sobolev de funciones integrables al cuadrado junto con sus primeras derivadas débiles, y \(\delta\) denota variación. En la representación de la configuración actual, \(\Omega\) es la configuración deformada; en una solución numérica real, se lleva hacia atrás a la configuración de referencia o a una configuración intermedia conocida.

Multiplicando la ecuación de equilibrio por el peso \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) y aplicando el teorema de la divergencia de Gauss y la condición de contorno mecánica se obtiene el siguiente principio de los trabajos virtuales en la configuración actual.

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

Aquí, \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) es la parte lineal del tensor de deformación de Almansi, definida por

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Su variación es \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\). Por tanto, se busca \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\) tal que la ecuación de trabajo virtual se satisfaga para todo \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\). El lado izquierdo es el trabajo virtual de las fuerzas internas, mientras que el lado derecho es el trabajo virtual de las fuerzas externas debidas a la tracción prescrita y a la fuerza de volumen.

Como esta ecuación está escrita sobre el dominio deformado (configuración actual), un procedimiento de solución real vuelve a seleccionar la configuración inicial \(\Omega_0\) (configuración de referencia) o una configuración intermedia conocida como configuración de referencia, reescribe la ecuación en forma incremental y después la resuelve. Consulte Marco para el análisis incremental para la elección concreta de la configuración de referencia (Lagrange total / Lagrange actualizado) y la descomposición incremental.

Forma débil en la configuración inicial

Considérese un cuerpo que ocupa el dominio \(\Omega_0\) en la configuración de referencia, con la frontera \(\Gamma_0\) dividida en \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\). Al llevar la representación de la configuración actual a la configuración de referencia se obtiene el par conjugado tensión-deformación formado por la segunda tensión de Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) y la deformación de Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\). El principio de los trabajos virtuales en la configuración inicial es entonces

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

Aquí, \(\rho_0\) es la densidad de masa en la configuración de referencia y, por la relación de conservación de la masa \(\rho_0 = J\rho\), esta expresión es equivalente a la representación de la fuerza de volumen en la configuración actual.

Equivalencia de las representaciones en la configuración actual e inicial

El trabajo virtual de las fuerzas internas en ambas representaciones coincide mediante la transformación por el gradiente de deformación \(\boldsymbol{F}\) y la razón de volumen \(J = \det \boldsymbol{F}\); es decir,

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Los términos de fuerzas externas también son equivalentes por conservación de la masa y transformación de la tracción. Por tanto, la ecuación de trabajo virtual en la configuración actual y la de la configuración inicial expresan el mismo principio en configuraciones diferentes. Un método de solución que toma como referencia la configuración de referencia corresponde al método de Lagrange total, mientras que un método de solución que toma como referencia la configuración actual (la configuración convergida inmediatamente anterior) corresponde al método de Lagrange actualizado.

Reducción a pequeñas deformaciones

Bajo las hipótesis de pequeñas deformaciones \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) y \(J \approx 1\), desaparece la distinción entre las configuraciones actual y de referencia, la segunda tensión PK coincide con la tensión de Cauchy (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)), y tanto la deformación de Green-Lagrange como la parte lineal de la deformación de Almansi se reducen a la deformación infinitesimal \(\boldsymbol{\varepsilon}\).

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

El principio de los trabajos virtuales se reduce entonces a la forma débil expresada en términos de la tensión de Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) y la deformación infinitesimal \(\boldsymbol{\varepsilon}\):

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{en} \ \Gamma_B \]

Esta es la forma débil utilizada directamente para la discretización en el análisis estático elástico lineal de pequeñas deformaciones (Análisis estático elástico lineal (introducción y apéndice) parte de esta forma y muestra la construcción de la rigidez del elemento \(\boldsymbol{K}^e\) mediante el ensamblaje de la ecuación global \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\)).

Sustituyendo la ley constitutiva elástica lineal \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) y escribiendo \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) en notación de Voigt, la forma débil se convierte en

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

que presenta esta forma.

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