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Principio dei lavori virtuali

Sulla base dell'equazione di equilibrio e delle condizioni al contorno derivate in Tensione e leggi di conservazione, si deriva il principio dei lavori virtuali, che costituisce la forma debole del problema ai valori al contorno della meccanica dei continui. La discretizzazione agli elementi finiti parte da questa forma debole. Questo capitolo presenta sia la formulazione nella configurazione corrente (espressa mediante la tensione di Cauchy e la parte lineare della deformazione di Almansi) sia la formulazione nella configurazione di riferimento (espressa mediante la seconda tensione di Piola-Kirchhoff e la deformazione di Green-Lagrange), ne dimostra l'equivalenza e infine verifica la riduzione al caso di piccole deformazioni.

Equazione di equilibrio e condizioni al contorno

Sia \(\boldsymbol{g}\) la forza di volume agente sul continuo per unità di massa, e si consideri un corpo che occupa il dominio \(\Omega\) nella configurazione corrente. Il contorno \(\Gamma\) è suddiviso nel contorno geometrico \(\Gamma_B\), sul quale è prescritto lo spostamento \(\bar{\boldsymbol{u}}\), e nel contorno meccanico \(\Gamma_t\), sul quale è prescritta la trazione \(\bar{\boldsymbol{t}}\), con \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\) e \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\). Per un problema statico, l'equazione di equilibrio si ottiene omettendo il termine inerziale dalla legge di conservazione della quantità di moto riportata in Tensione e leggi di conservazione:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{in} \ \Omega \]

Le condizioni al contorno sono

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{su} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{su} \ \Gamma_B \]

Nel seguito, il principio dei lavori virtuali viene derivato come forma debole dell'equazione di equilibrio e della condizione al contorno meccanica \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\). La condizione al contorno geometrica \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) viene incorporata mediante la scelta della funzione di prova.

Forma debole nella configurazione corrente

Nella forma debole, si definiscono rispettivamente lo spazio ammissibile per lo spostamento incognito e lo spazio delle funzioni di prova come

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{su} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{su} \ \Gamma_B \} \]

Qui, \(d\) è la dimensione spaziale, \(H^1(\Omega)\) è lo spazio di Sobolev delle funzioni quadrato-integrabili insieme alle loro prime derivate deboli e \(\delta\) indica la variazione. Nella rappresentazione nella configurazione corrente, \(\Omega\) è la configurazione deformata; nella soluzione numerica effettiva, essa viene riportata alla configurazione di riferimento o a una configurazione intermedia nota.

Moltiplicando l'equazione di equilibrio per il peso \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) e applicando il teorema della divergenza di Gauss e la condizione al contorno meccanica, si ottiene il seguente principio dei lavori virtuali nella configurazione corrente.

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

Qui, \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) è la parte lineare del tensore di deformazione di Almansi, definita da

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

La sua variazione è \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\). Si cerca quindi \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\) tale che l'equazione dei lavori virtuali sia soddisfatta per ogni \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\). Il membro sinistro rappresenta il lavoro virtuale delle forze interne, mentre il membro destro rappresenta il lavoro virtuale delle forze esterne dovute alla trazione prescritta e alla forza di volume.

Poiché questa equazione è scritta sul dominio deformato (configurazione corrente), nella procedura di soluzione effettiva si seleziona nuovamente come configurazione di riferimento la configurazione iniziale \(\Omega_0\) oppure una configurazione intermedia nota, si riscrive l'equazione in forma incrementale e quindi la si risolve. Per la scelta specifica della configurazione di riferimento (Lagrangiano totale / Lagrangiano aggiornato) e la decomposizione incrementale, vedere Quadro dell'analisi incrementale.

Forma debole nella configurazione iniziale

Si consideri un corpo che occupa il dominio \(\Omega_0\) nella configurazione di riferimento, con contorno \(\Gamma_0\) suddiviso in \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\). Riportando la formulazione della configurazione corrente alla configurazione di riferimento si ottiene la coppia coniugata tensione-deformazione costituita dalla seconda tensione di Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) e dalla deformazione di Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\). Il principio dei lavori virtuali nella configurazione iniziale è quindi

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

Qui, \(\rho_0\) è la densità di massa nella configurazione di riferimento e, in base alla relazione di conservazione della massa \(\rho_0 = J\rho\), questa formulazione è equivalente a quella della forza di volume nella configurazione corrente.

Equivalenza delle rappresentazioni nelle configurazioni corrente e iniziale

Il lavoro virtuale delle forze interne nelle due rappresentazioni coincide attraverso la trasformazione mediante il gradiente di deformazione \(\boldsymbol{F}\) e il rapporto di volume \(J = \det \boldsymbol{F}\); vale a dire,

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Anche i termini delle forze esterne sono equivalenti per conservazione della massa e trasformazione della trazione. Pertanto, l'equazione dei lavori virtuali nella configurazione corrente e quella nella configurazione iniziale esprimono lo stesso principio in configurazioni diverse. Un metodo di soluzione riferito alla configurazione di riferimento corrisponde al metodo lagrangiano totale, mentre un metodo di soluzione riferito alla configurazione corrente (la configurazione convergente immediatamente precedente) corrisponde al metodo lagrangiano aggiornato.

Riduzione alle piccole deformazioni

Sotto le ipotesi di piccole deformazioni \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) e \(J \approx 1\), la distinzione tra configurazione corrente e configurazione di riferimento scompare, la seconda tensione PK coincide con la tensione di Cauchy (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)) e sia la deformazione di Green-Lagrange sia la parte lineare della deformazione di Almansi si riducono alla deformazione infinitesima \(\boldsymbol{\varepsilon}\).

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Il principio dei lavori virtuali si riduce quindi alla forma debole espressa in termini della tensione di Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) e della deformazione infinitesima \(\boldsymbol{\varepsilon}\):

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{su} \ \Gamma_B \]

Questa è la forma debole utilizzata direttamente per la discretizzazione nell'analisi statica elastica lineare a piccole deformazioni (Analisi statica elastica lineare (Introduzione e appendice) parte da questa forma e mostra la costruzione della rigidezza dell'elemento \(\boldsymbol{K}^e\) mediante l'assemblaggio dell'equazione globale \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\)).

Sostituendo la legge costitutiva elastica lineare \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) e scrivendo \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) nella notazione di Voigt, la forma debole diventa

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

che assume questa forma.

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