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Analisi della risposta in frequenza

Formulazione del problema

L'analisi della risposta in frequenza valuta, nel dominio della frequenza, l'ampiezza e la fase della risposta stazionaria di un sistema quando la forza esterna varia armonicamente nel tempo. Poiché l'equazione del moto viene trattata in modo diverso in presenza o in assenza di smorzamento, questo capitolo ricava dapprima i modi propri dalla vibrazione libera non smorzata e li utilizza quindi come base modale per espandere la risposta armonica smorzata.

Vibrazione libera non smorzata e modi propri

Trascurando lo smorzamento, l'equazione del moto è

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

Espandendo lo spostamento in ciascun modo proprio si ottiene

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

Sostituendo questa espressione nell'Eq.\(\eqref{eq:2.6.1}\) si ottiene

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

Si tratta di un problema agli autovalori generalizzato. I metodi di soluzione numerica, tra cui l'iterazione inversa con shift e il metodo di Lanczos, sono descritti in Analisi modale. In questa sezione vengono riepilogate le proprietà delle frequenze naturali e dei modi propri risultanti, utilizzate nella successiva espansione della risposta armonica.

Realtà delle frequenze naturali

Si può dimostrare che la frequenza naturale è reale nel modo seguente. Sia \(\omega_j^2 = \lambda_j\). Prendendo il complesso coniugato dell'Eq.\(\eqref{eq:2.6.3}\) si ottiene l'Eq.\(\eqref{eq:2.6.4}\).

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

Moltiplicando per \(\overline{U}_J^T\) si ottiene

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

Dall'Eq.\(\eqref{eq:2.6.5}\),

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

Poiché la matrice di massa è simmetrica definita positiva, per un autovettore non nullo vale

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

Pertanto,

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

Quindi \(\omega_j^2 = \lambda_j\) è reale.

Ortogonalità e normalizzazione dei modi propri

Consideriamo due modi differenti.

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

Ne segue che

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

e, quando gli autovalori sono differenti,

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

Pertanto, modi propri differenti sono ortogonali rispetto alla matrice di massa. Per lo stesso modo, la normalizzazione rispetto alla matrice di massa come nell'Eq.\(\eqref{eq:2.6.12}\) semplifica il trattamento successivo.

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

Risposta armonica con smorzamento

Di seguito viene presentata la formulazione dell'analisi della risposta in frequenza con smorzamento. L'equazione del moto governante è data dall'Eq.\(\eqref{eq:2.6.13}\).

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

Si assume che il termine di smorzamento sia di tipo Rayleigh e sia espresso dall'Eq.\(\eqref{eq:2.6.14}\).

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

Utilizzando gli autovettori ottenuti dall'analisi modale, il vettore spostamento al tempo t può essere espanso come nell'Eq.\(\eqref{eq:2.6.15}\).

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

Supponiamo che il termine di forza esterna abbia la forma armonica

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

Determiniamo quindi \(b_{j}(t)\). Poiché l'equazione del moto nell'Eq.\(\eqref{eq:2.6.13}\) ha la forma di una vibrazione forzata,

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

vale. Le parti reale e immaginaria del coefficiente di espansione \(b_{j}(t)\) sono date rispettivamente dalle Eq.\(\eqref{eq:2.6.18}i\) e \(\eqref{eq:2.6.19}\).

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]
\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

Si ottengono così i coefficienti della risposta armonica desiderata.

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