Frequenzganganalyse¶

Problemformulierung¶

Die Frequenzganganalyse bestimmt im Frequenzbereich die stationäre Antwortamplitude und -phase eines Systems, wenn sich die äußere Kraft harmonisch mit der Zeit ändert. Da die zugrunde liegende Bewegungsgleichung mit und ohne Dämpfung unterschiedlich behandelt wird, werden in diesem Kapitel zunächst die Eigenmoden aus der ungedämpften freien Schwingung hergeleitet und anschließend als Modalbasis zur Entwicklung der gedämpften harmonischen Antwort verwendet.

Ungedämpfte freie Schwingung und Eigenmoden¶

Wird die Dämpfung vernachlässigt, lautet die Bewegungsgleichung

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

Die Entwicklung der Verschiebung in den einzelnen Eigenmoden ergibt

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

Durch Einsetzen in Gl.\(\eqref{eq:2.6.1}\) erhält man

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

Dies ist ein verallgemeinertes Eigenwertproblem. Numerische Lösungsverfahren hierfür, einschließlich verschobener inverser Iteration und Lanczos-Verfahren, werden unter Modalanalyse behandelt. Dieser Abschnitt fasst die Eigenschaften der daraus resultierenden Eigenfrequenzen und Eigenmoden zusammen, die für die anschließende Entwicklung der harmonischen Antwort verwendet werden.

Reellwertigkeit der Eigenfrequenzen¶

Dass die Eigenfrequenz reell ist, lässt sich wie folgt zeigen. Es sei \(\omega_j^2 = \lambda_j\). Durch komplexe Konjugation von Gl.\(\eqref{eq:2.6.3}\) erhält man Gl.\(\eqref{eq:2.6.4}\).

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

Multiplikation mit \(\overline{U}_J^T\) ergibt

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

Aus Gl.\(\eqref{eq:2.6.5}\) folgt

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

Da die Massenmatrix symmetrisch positiv definit ist, gilt für einen von null verschiedenen Eigenvektor

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

Daher gilt

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

Damit ist \(\omega_j^2 = \lambda_j\) reell.

Orthogonalität und Normierung der Eigenmoden¶

Betrachten wir zwei verschiedene Moden.

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

Daraus folgt

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

und bei verschiedenen Eigenwerten

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

Verschiedene Eigenmoden sind somit bezüglich der Massenmatrix orthogonal. Für denselben Modus vereinfacht eine Normierung bezüglich der Massenmatrix gemäß Gl.\(\eqref{eq:2.6.12}\) die weitere Behandlung.

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

Harmonische Antwort mit Dämpfung¶

Im Folgenden wird die Formulierung der Frequenzganganalyse mit Dämpfung angegeben. Die zugrunde liegende Bewegungsgleichung ist durch Gl.\(\eqref{eq:2.6.13}\) gegeben.

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

Der Dämpfungsterm wird als Rayleigh-Dämpfung angenommen und gemäß Gl.\(\eqref{eq:2.6.14}\) dargestellt.

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

Unter Verwendung der aus der Modalanalyse erhaltenen Eigenvektoren kann der Verschiebungsvektor zum Zeitpunkt t gemäß Gl.\(\eqref{eq:2.6.15}\) entwickelt werden.

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

Es sei der äußere Kraftterm von der harmonischen Form

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

Nun wird \(b_{j}(t)\) bestimmt. Da die Bewegungsgleichung in Gl.\(\eqref{eq:2.6.13}\) die Form einer erzwungenen Schwingung besitzt,

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

gilt. Der Real- und Imaginärteil des Entwicklungskoeffizienten \(b_{j}(t)\) sind durch Gl.\(\eqref{eq:2.6.18}i\) bzw. \(\eqref{eq:2.6.19}\) gegeben.

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]

\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

Damit erhält man die gesuchten Koeffizienten der harmonischen Antwort.