Liste der Symbole physikalischer Größen¶

Diese Seite listet die Symbole für physikalische Größen auf, die im FrontISTR-Theoriehandbuch verwendet werden. Zu den Notationsregeln (Fettschrift für Vektoren und Tensoren, Einsteinsche Summenkonvention und Voigt-Notation) siehe Tensornotation und mathematische Grundlagen.

Konfigurationen und Koordinatensysteme¶

Symbol	Beschreibung
\(\boldsymbol{X}\)	Ortsvektor eines Materialpunkts in der Referenzkonfiguration (Ausgangskonfiguration), d. h. Materialkoordinaten
\(\boldsymbol{x}\)	Ortsvektor eines Materialpunkts in der aktuellen Konfiguration, d. h. Raumkoordinaten
\(\phi(\boldsymbol{X}, t)\)	Bewegungsabbildung: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\)
\(\Omega_0\)	Vom Körper in der Referenzkonfiguration eingenommenes Gebiet
\(\Omega\)	Vom Körper in der aktuellen Konfiguration eingenommenes Gebiet
\(\Gamma_0\)	Rand von \(\Omega_0\)
\(\Gamma\)	Rand von \(\Omega\)
\(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\)	Geometrischer (Verschiebungs-)Rand: Rand in aktueller bzw. Referenzkonfiguration, auf dem \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) vorgegeben ist
\(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\)	Mechanischer Rand: Rand in aktueller bzw. Referenzkonfiguration, auf dem \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (oder \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) vorgegeben ist
\(\boldsymbol{n}\)	Nach außen gerichteter Einheitsnormalenvektor einer Fläche in der aktuellen Konfiguration
\(\boldsymbol{N}\)	Nach außen gerichteter Einheitsnormalenvektor einer Fläche in der Referenzkonfiguration
\(t\)	Zeit

Konvention: Physikalische Größen in der Referenzkonfiguration werden mit Großbuchstaben oder dem Index \(0\) bezeichnet, Größen in der aktuellen Konfiguration mit Kleinbuchstaben.

Zeit und Inkremente (inkrementelle Analyse)¶

Symbol	Beschreibung
\(\Delta t\)	Zeitinkrement: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\)
\(^{t}(\cdot)\)	Physikalische Größe zum Zeitpunkt \(t\) (vorangestellter Hochindex). Beispiel: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) ist die Cauchy-Spannung zum Zeitpunkt \(t\)
\(^{t}\Omega\)	Gebiet der aktuellen Konfiguration zum Zeitpunkt \(t\)
\(^{t}\Gamma\)	Rand der aktuellen Konfiguration zum Zeitpunkt \(t\)

Konvention: Bei der inkrementellen Analyse wird der Zustand bis zum Zeitpunkt \(t\) als bekannt behandelt und der Zustand zum Zeitpunkt \(t + \Delta t\) als unbekannt bestimmt. Der vorangestellte Hochindex wird weggelassen, wenn die Zeit nicht ausdrücklich angegeben werden muss. Eine Formulierung, die die Referenzkonfiguration \(\Omega_0\) als Bezug verwendet, heißt Total-Lagrange-Formulierung; eine Formulierung, die die aktuelle Konfiguration \(^{t}\Omega\) zu Beginn des Inkrements als Bezug verwendet, heißt Updated-Lagrange-Formulierung.

Verschiebung, Geschwindigkeit, Beschleunigung und Volumenkraft¶

Symbol	Beschreibung
\(\boldsymbol{u}\)	Verschiebungsvektor: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\)
\(\bar{\boldsymbol{u}}\)	Auf dem geometrischen Rand \(\Gamma_B\) vorgegebene Verschiebung
\(\delta \boldsymbol{u}\)	Virtuelle Verschiebung (Testfunktion): auf \(\Gamma_B\) gilt \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\)
\(\boldsymbol{v}\)	Geschwindigkeitsvektor: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\)
\(\boldsymbol{a}\)	Beschleunigungsvektor: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\)
\(\boldsymbol{g}\)	Volumenkraft (pro Masseneinheit)
\(\boldsymbol{t}\)	Oberflächenkraftvektor (pro Flächeneinheit): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\)
\(\bar{\boldsymbol{t}}\)	Auf dem mechanischen Rand \(\Gamma_t\) vorgegebene Oberflächenkraft (Neumann-Daten)

Differentialoperatoren¶

Symbol	Beschreibung
\(\dot{(\cdot)}\)	Materielle Zeitableitung (Zeitableitung entlang desselben Materialpunkts): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\)
\(\nabla_X\)	Gradient in der Referenzkonfiguration (Gradient bezüglich der Materialkoordinaten \(\boldsymbol{X}\)): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\)
\(\nabla_x\)	Gradient in der aktuellen Konfiguration (Gradient bezüglich der Raumkoordinaten \(\boldsymbol{x}\)): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\)
\(\nabla_S\)	Symmetrischer Gradientoperator: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\)

Hinweis: \(\nabla_X\) und \(\nabla_x\) stehen über \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\) in Beziehung. Ein Gradient ohne Index, \(\nabla\), wird verwendet, wenn die Konfiguration aus dem Kontext eindeutig ist oder der Unterschied verschwindet, etwa bei kleinen Verformungen.

Deformationstensoren¶

Symbol	Beschreibung
\(\boldsymbol{F}\)	Deformationsgradient: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\)
\(J\)	Volumenänderungsverhältnis: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{C}\)	Rechter Cauchy-Green-Deformationstensor: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{b}\)	Linker Cauchy-Green-Deformationstensor: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\)
\(\boldsymbol{L}\)	Geschwindigkeitsgradiententensor: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\)
\(\boldsymbol{D}\)	Deformationsgeschwindigkeitstensor (symmetrischer Anteil von \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\)
\(\boldsymbol{W}\)	Spintensor (antisymmetrischer Anteil von \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\)

Dehnungstensoren¶

Symbol	Beschreibung
\(\boldsymbol{E}\)	Green-Lagrange-Dehnungstensor (Referenzkonfiguration): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\)
\(\boldsymbol{e}\)	Almansi-Dehnungstensor (aktuelle Konfiguration): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\)
\(\boldsymbol{A}_{(L)}\)	Linearer Anteil des Almansi-Dehnungstensors (symmetrischer Verschiebungsgradient in der aktuellen Konfiguration): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\)
\(\boldsymbol{\varepsilon}\)	Infinitesimaler Dehnungstensor (lineare Näherung): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\)

Hinweis: \(\boldsymbol{E}\) wird hauptsächlich in der Total-Lagrange-Formulierung und \(\boldsymbol{D}\) hauptsächlich in der Updated-Lagrange-Formulierung verwendet.

Spannungstensoren¶

Symbol	Beschreibung
\(\boldsymbol{\sigma}\)	Cauchy-Spannungstensor (wahre Spannung, aktuelle Konfiguration): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\)
\(\boldsymbol{P}\)	Erster Piola-Kirchhoff-Spannungstensor (Nennspannung): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)
\(\boldsymbol{S}\)	Zweiter Piola-Kirchhoff-Spannungstensor (Referenzkonfiguration, symmetrisch): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)

Umrechnungsbeziehungen zwischen den Spannungstensoren:

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]

Konvention: In der Total-Lagrange-Formulierung wird das Paar \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), in der Updated-Lagrange-Formulierung das Paar \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\) verwendet.

Dichte und Masse¶

Symbol	Beschreibung
\(\rho\)	Massendichte in der aktuellen Konfiguration
\(\rho_0\)	Massendichte in der Referenzkonfiguration

Massenerhaltung: \(\rho_0 = J\rho\).

Materialkonstanten (lineare Elastizität)¶

Symbol	Beschreibung
\(E\)	Elastizitätsmodul (Youngscher Modul)
\(\nu\)	Poissonzahl
\(\lambda\)	Erste Lamé-Konstante: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\)
\(\mu\)	Zweite Lamé-Konstante (Schubmodul): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\)
\(\boldsymbol{\mathsf{C}}\)	Elastizitätstensor (4. Ordnung): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), Komponenten \(C_{ijkl}\)
\(D\) (oder \(\hat{\tilde{C}}\))	Materialmatrix (Voigt-Notation, in 3D \(6\times6\)): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\)

Komponenten des Elastizitätstensors für ein isotropes linear-elastisches Material:

\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]

Hyperelastische Materialien¶

Symbol	Beschreibung
\(W(\boldsymbol{C})\)	Elastische Potentialfunktion (Formänderungsenergiedichte)
\(I_1, I_2, I_3\)	Hauptinvarianten des rechten Cauchy-Green-Tensors \(\boldsymbol{C}\)
\(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\)	Reduzierte Invarianten von \(\boldsymbol{C}\) (Volumenänderungsanteil abgetrennt)
\(C_1, C_2\)	Materialkonstanten des Mooney-Rivlin-Modells
\(D\)	Materialkonstante für die volumetrische Elastizität

Elastoplastische Materialien¶

Symbol	Beschreibung
\(\boldsymbol{D}^e\)	Elastischer Anteil des Deformationsgeschwindigkeitstensors
\(\boldsymbol{D}^p\)	Plastischer Anteil des Deformationsgeschwindigkeitstensors
\(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\)	Fließfunktion
\(\kappa\)	Interne Variable zur Beschreibung des plastischen Zustands (isotrope Verfestigungsvariable)
\(\lambda^p\)	Plastischer Multiplikator (Multiplikator der plastischen Dehnrate): \(\lambda^p \geq 0\)
\(\Theta\)	Plastisches Potential (bei assoziierter Fließregel \(\Theta = F\))
\(\bar{\sigma}\)	Vergleichsspannung (z. B. von-Mises-Spannung)
\(\bar{\varepsilon}^p\)	Äquivalente plastische Dehnung
\(H(\bar{\varepsilon}^p)\)	Isotrope Verfestigungsfunktion

Komplementaritätsbedingung: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).

Finite-Elemente-Methode¶

Symbol	Beschreibung
\(\Omega^h, \Omega_0^h\)	Durch Finite-Elemente-Diskretisierung approximierte Gebiete in aktueller und Referenzkonfiguration: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\)
\(\Omega^e, \Omega^e_0\)	Elementgebiet in aktueller und Referenzkonfiguration
\(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\)	Teil des Elementrands, der zum mechanischen Rand gehört
\(\boldsymbol{r}\)	Natürliche Koordinaten (lokale Elementkoordinaten)
\(\boldsymbol{r}_\alpha\)	Punkt in natürlichen Koordinaten, der dem Knoten \(\alpha\) entspricht
\(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\)	Formfunktion des Elements \(e\) für Knoten \(\alpha\)
\(n_e\)	Anzahl der Knoten eines Elements
\(n_g\)	Gesamtzahl der globalen Knoten
\(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\)	Koordinaten und Verschiebung des Elementknotens \(\alpha\)
\(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\)	Vektoren der Elementknotenkoordinaten und -verschiebungen: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) usw.
\(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\)	Globale Knotenkoordinaten- und Verschiebungsvektoren (geordnet nach Knotennummer und anschließend Freiheitsgrad)
\(\boldsymbol{B}\)	Dehnungs-Verschiebungs-Matrix (B-Matrix)
\(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\)	Formfunktionsmatrix: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) enthält für Knoten \(\alpha\) die Formfunktion \(N_\alpha^e\) diagonal in einem \(d \times d\)-Block, und \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\)
\(\boldsymbol{K}^e\)	Elementsteifigkeitsmatrix
\(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\)	Integranden der Elementsteifigkeitsmatrix (in Referenz- bzw. aktueller Konfiguration dargestellt): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\)
\(\boldsymbol{Q}^e\) (TL-Formulierung), \(\boldsymbol{q}^e\) (UL-Formulierung)	Element-Innenkraftvektor
\(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\)	Äußere Knotenkraft am Elementknoten \(\alpha\) sowie Vektor der äußeren Elementknotenkräfte: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\)
\(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\)	Globaler Innenkraftvektor und globaler äußerer Kraftvektor: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); entsprechend für \(\boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\)	Knoteninnenkraft und äußere Knotenkraft am globalen Knoten \(i_g\) (Knotenblöcke von \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\))
\(\boldsymbol{K}\)	Globale Tangentensteifigkeitsmatrix: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Matrix mit dem \(3\times 3\)-Block \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) in Zeile \(i_g\) und Spalte \(i_h\)
\(\boldsymbol{R}_i\)	Residuenvektor in der Newton-Raphson-Iteration: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\)
\(d\boldsymbol{u}_i\)	Korrektur der Newton-Raphson-Iteration (in der \(i\)-ten Iteration durch Lösen der linearen Gleichung \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) erhalten)
\(i_g\)	Globale Knotennummer (\(1 \leq i_g \leq n_g\))
\(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\)	Globale Knotennummer, die im Element \(e\) der lokalen Knotennummer \(\alpha\) entspricht: \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\)
\(\mathcal{E}(i_g)\)	Menge der zur globalen Knotennummer \(i_g\) gehörenden Paare \((e, \alpha)\): \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Wird bei Assemblierungsoperationen verwendet
\(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\)	Zum Paar globaler Knotennummern \((i_g, i_h)\) gehörende Menge der Tupel \((e, \alpha, \beta)\); wird zur Assemblierung der Steifigkeitsmatrix verwendet
\(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\)	Indizes für die Knoten eines Elements
\(i, j, k, l, \ldots\)	Indizes für Freiheitsgrade (in 3D \(1, 2, 3\))

Erweiterte Elemente und Strukturelemente¶

Symbol	Beschreibung
\(\bar{\boldsymbol{B}}\)	Dehnungs-Verschiebungs-Matrix mit nach dem B-bar-Verfahren modifiziertem Volumenanteil (der Volumenanteil wird durch die am Elementzentrum ausgewertete B-Matrix ersetzt)
\(\bar{\boldsymbol{F}}\)	Deformationsgradient mit nach dem F-bar-Verfahren modifiziertem Volumenanteil: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\)
\(J_0\)	Volumenänderungsverhältnis des am Elementzentrum \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\) ausgewerteten Deformationsgradienten: \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\)
\(\boldsymbol{\alpha}\)	Interner Freiheitsgradvektor eines Elements mit inkompatiblen Moden (Koeffizienten zusätzlicher Verschiebungsmoden, die am Elementrand keine Stetigkeit erzwingen)
\(M_k(\boldsymbol{r})\)	Formfunktionen der inkompatiblen Moden: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\)
\(h\)	Dicke eines Schalenelements
\(A\)	Querschnittsfläche eines Balkenelements
\(I\)	Flächenträgheitsmoment des Querschnitts eines Balkenelements
\(G\)	Schubmodul: \(G = E/[2(1+\nu)]\)