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Wärmeleitungsgleichung

In diesem Kapitel werden die Grundgleichung der Wärmeleitung (auf Kontinuumsebene), wie sie in FrontISTR behandelt wird, und die zugehörigen Randbedingungen zusammengestellt. Die Zeitdiskretisierung und die FEM-Diskretisierung werden dem Diskretisierungsteil (L3d) und dem Abschnitt zu den Lösungsalgorithmen (L3e: solution_methods/05_transient_heat) überlassen.

Grundgleichung

Die Wärmeleitungsgleichung in einem Kontinuum lautet wie folgt.

\[\begin{equation} \rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left(k_x \frac{\partial T}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(k_y \frac{\partial T}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(k_z \frac{\partial T}{\partial z}\right) + Q \label{eq:gov_he_main} \end{equation}\]

Hierbei bezeichnet \(\rho=\rho(x)\) die Masse (Dichte), \(c=c(x,T)\) die spezifische Wärmekapazität, \(T=T(x,t)\) die Temperatur, \(k=k(x,T)\) die Wärmeleitfähigkeit, \(Q=Q(x,T,t)\) die Wärmeerzeugungsrate, \(x\) den Ort und \(t\) die Zeit. \(k_x, k_y, k_z\) sind die Wärmeleitfähigkeiten in den jeweiligen Richtungen bei anisotroper Wärmeleitung.

Für konkrete thermische Eigenschaften (Temperaturabhängigkeit und Anisotropie) siehe Thermische Eigenschaften.

Randbedingungen

Es sei \(S\) das betrachtete Gebiet und \(\Gamma\) sein Rand. Unter der Annahme, dass auf \(\Gamma\) überall entweder eine Randbedingung vom Dirichlet-Typ oder vom Neumann-Typ vorgegeben ist, ergeben sich die Randbedingungen wie folgt.

\[\begin{equation} T = T_1(x,t), \; x \in \Gamma_1 \label{eq:gov_he_dirichlet} \end{equation}\]
\[\begin{equation} k \frac{\partial T}{\partial n} = q(x,T,t), \; x \in \Gamma_2 \label{eq:gov_he_neumann} \end{equation}\]

Dabei wird angenommen, dass die Funktionsformen von \(T_1\) und \(q\) bekannt sind. \(q\) ist die aus dem Rand austretende Wärmestromdichte. Die Wärmestromdichte \(q\) am Rand setzt sich aus den folgenden drei Anteilen zusammen.

\[\begin{equation} q=-q_s+q_c+q_r \label{eq:gov_he_flux} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_s=q_s(x,t) \label{eq:gov_he_qs} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_c=hc(T-Tc) \label{eq:gov_he_qc} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_r=hr(T^4-Tr^4) \label{eq:gov_he_qr} \end{equation}\]

Hierbei ist \(q_s\) die verteilte Wärmestromdichte, \(q_c\) die Wärmestromdichte durch konvektiven Wärmeübergang und \(q_r\) die Wärmestromdichte durch strahlungsbedingten Wärmeübergang.

Dabei ist \(Tc=Tc(x,t)\) die Umgebungstemperatur für den konvektiven Wärmeübergang, \(hc=hc(x,t)\) der konvektive Wärmeübergangskoeffizient, \(Tr=Tr(x,t)\) die Umgebungstemperatur für den strahlungsbedingten Wärmeübergang, \(hr=\varepsilon \sigma F = hr(x,t)\) der Wärmeübergangskoeffizient für Strahlung, \(\varepsilon\) der Emissionsgrad, \(\sigma\) die Stefan-Boltzmann-Konstante und \(F\) der Sichtfaktor ist.

Zur Vorgehensweise bei der Angabe in der Eingabedatei siehe im Funktionsteil Randbedingungen und Lasten.

Schwache Form

Kopplung mit der Strukturanalyse

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