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ऊष्मा चालन समीकरण

यह अध्याय FrontISTR द्वारा संबोधित ऊष्मा चालन के शासकीय समीकरण (सतत माध्यम स्तर) और सीमा शर्तों का सार प्रस्तुत करता है। समय विविक्तीकरण और FEM विविक्तीकरण को विविक्तीकरण खंड (L3d) तथा समाधान एल्गोरिथ्म खंड (L3e: solution_methods/05_transient_heat) में रखा गया है।

शासकीय समीकरण

सतत माध्यम में ऊष्मा चालन समीकरण निम्न प्रकार दिया जाता है।

\[\begin{equation} \rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left(k_x \frac{\partial T}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(k_y \frac{\partial T}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(k_z \frac{\partial T}{\partial z}\right) + Q \label{eq:gov_he_main} \end{equation}\]

यहाँ \(\rho=\rho(x)\) द्रव्यमान घनत्व, \(c=c(x,T)\) विशिष्ट ऊष्मा, \(T=T(x,t)\) तापमान, \(k=k(x,T)\) तापीय चालकता, \(Q=Q(x,T,t)\) ऊष्मा उत्पादन, \(x\) स्थिति और \(t\) समय को दर्शाते हैं। \(k_x, k_y, k_z\) अनिसोट्रॉपिक ऊष्मा चालन में संबंधित दिशाओं की तापीय चालकता हैं।

तापमान निर्भरता और अनिसोट्रॉपी सहित विशिष्ट तापीय गुणों के लिए तापीय गुण देखें।

सीमा शर्तें

विचाराधीन क्षेत्र को \(S\) और उसकी सीमा को \(\Gamma\) मानें। यह मानते हुए कि \(\Gamma\) पर हर स्थान पर Dirichlet प्रकार या Neumann प्रकार की सीमा शर्तों में से कोई एक दी गई है, सीमा शर्तें निम्न प्रकार होती हैं।

\[\begin{equation} T = T_1(x,t), \; x \in \Gamma_1 \label{eq:gov_he_dirichlet} \end{equation}\]
\[\begin{equation} k \frac{\partial T}{\partial n} = q(x,T,t), \; x \in \Gamma_2 \label{eq:gov_he_neumann} \end{equation}\]

यहाँ \(T_1\) और \(q\) के फलनिक रूप ज्ञात माने जाते हैं। \(q\) सीमा से बाहर जाने वाला ऊष्मा फ्लक्स है। सीमा का ऊष्मा फ्लक्स \(q\) निम्न तीन घटकों से बना है।

\[\begin{equation} q=-q_s+q_c+q_r \label{eq:gov_he_flux} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_s=q_s(x,t) \label{eq:gov_he_qs} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_c=hc(T-Tc) \label{eq:gov_he_qc} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_r=hr(T^4-Tr^4) \label{eq:gov_he_qr} \end{equation}\]

यहाँ \(q_s\) वितरित ऊष्मा फ्लक्स, \(q_c\) संवहनी ऊष्मा स्थानांतरण से उत्पन्न ऊष्मा फ्लक्स और \(q_r\) विकिरणीय ऊष्मा स्थानांतरण से उत्पन्न ऊष्मा फ्लक्स है।

यहाँ \(Tc=Tc(x,t)\) संवहनी ऊष्मा स्थानांतरण का परिवेश तापमान, \(hc=hc(x,t)\) संवहनी ऊष्मा स्थानांतरण गुणांक, \(Tr=Tr(x,t)\) विकिरणीय ऊष्मा स्थानांतरण का परिवेश तापमान, \(hr=\varepsilon \sigma F = hr(x,t)\) विकिरणीय ऊष्मा स्थानांतरण गुणांक, \(\varepsilon\) emissivity, \(\sigma\) Stefan-Boltzmann स्थिरांक और \(F\) view factor है।

इन शर्तों को इनपुट फ़ाइल में निर्दिष्ट करने की विधि के लिए फ़ंक्शन संदर्भ में सीमा शर्तें और भार देखें।

कमजोर रूप

संरचनात्मक विश्लेषण के साथ युग्मन

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