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वृद्धिशील विश्लेषण का ढाँचा

वृद्धिशील विश्लेषण की आवश्यकता

जैसा पहले बताया गया है, infinitesimal-deformation समस्या में equilibrium equation जैसे governing equations के समतुल्य virtual work principle का उपयोग करके और उसे finite elements से discretize करके finite element analysis किया जा सकता है। संरचना की बड़ी विकृति से संबंधित finite-deformation समस्या में भी मूल रूप से virtual work principle का उपयोग किया जाता है।

परंतु finite-deformation समस्या में, सामग्री को रैखिक मानने पर भी virtual work equation विस्थापन के संबंध में nonlinear equation बन जाता है। nonlinear equation हल करने के लिए सामान्यतः iterative method द्वारा बार-बार गणना की जाती है।

इस iterative calculation में छोटी-छोटी load increments पर चरणबद्ध गणना की जाती है और उन्हें जोड़ते हुए अंतिम deformed state तक पहुँचा जाता है; इसे incremental analysis कहते हैं। infinitesimal-deformation समस्या मानने पर strain और stress को परिभाषित करने वाली configuration को deformation से पहले और बाद में विशेष रूप से अलग नहीं किया जाता था। अर्थात infinitesimal deformation मानने पर governing equations किस configuration में लिखे गए हैं—deformation से पहले या बाद—इससे समस्या नहीं होती थी।

finite-deformation समस्या में incremental analysis करते समय formulation इस पर निर्भर करता है कि reference configuration के रूप में initial configuration ली जाए या increment के प्रारंभ की configuration। पहली को total Lagrange विधि और दूसरी को updated Lagrange विधि कहा जाता है। विवरण के लिए अध्याय के अंत के संदर्भ आदि देखें।

प्रारंभिक समीकरण: समय \(t'\) पर virtual work principle

मान लें कि समय \(t\) तक की अवस्था ज्ञात है और समय \(t' = t + \Delta t\) की अवस्था अज्ञात है (चित्र 2.2.1 देखें)। समय \(t'\) पर equilibrium equation, boundary conditions और virtual work principle (वर्तमान configuration का रूप, Cauchy stress \(^{t'}\sigma\) और Almansi strain के linear part \(^{t'} A_{(L)}\) द्वारा अभिव्यक्ति) virtual work principle में दिए गए हैं।

वृद्धिशील विश्लेषण की अवधारणा

चित्र 2.2.1　वृद्धिशील विश्लेषण की अवधारणा

हालाँकि यह प्रारंभिक समीकरण समय \(t'\) की (अज्ञात) configuration में लिखा गया है, वास्तविक solution method में समय \(0\) की initial configuration \(V\) या समय \(t\) की current configuration \(^{t'} v\) को reference configuration के रूप में फिर चुना जाता है और incremental form में लिखकर हल किया जाता है:

  • Total Lagrange विधि — initial configuration \(V\) को reference के रूप में उपयोग करती है। द्वितीय PK stress \(\boldsymbol{S}\) और Green-Lagrange strain \(\boldsymbol{E}\) का उपयोग करती है।
  • Updated Lagrange विधि — increment के प्रारंभ पर current configuration \(^{t}v\) को reference के रूप में उपयोग करती है। Cauchy stress \(\boldsymbol{\sigma}\) और Almansi strain के linear part \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) का उपयोग करती है।

दोनों की spatial discretization (B matrix और internal-force vector) के लिए internal virtual work का discretization और linearization तथा tangent stiffness की संरचना के लिए tangent stiffness matrix देखें।

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