यह अनुभाग finite element method (FEM) का उपयोग करके solids के heat conduction analysis के लिए time discretization और iterative solution method प्रस्तुत करता है। continuum की governing equations और boundary conditions के लिए ऊष्मा चालन समीकरण देखें।
\[\begin{equation}
K T + M \frac{\partial T}{\partial t} = F
\label{eq:2.4.8}
\end{equation}\]
जहाँ
\[\begin{equation}
K = \int\left( k_x \frac{\partial N^T}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial x}
+ k_y \frac{\partial N^T}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial y}
+ k_z \frac{\partial N^T}{\partial z}\frac{\partial N}{\partial z} \right) dV
+ \int hc N^T N ds + \int hr N^T N ds
\label{eq:2.4.9}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
M = \int \rho c N^T N dV
\label{eq:2.4.10}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
F = \int Q N^T dV - \int q_s N^T dS
+ \int{hc} T c N^T dS
+ \int{hcTr} ({T+Tr}) ({T^2 + T r^2}) N^T dS
\label{eq:2.4.11}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
N = (N^1, N^2, \ldots, Ni)
\label{eq:2.4.12}
\end{equation}\]
यहाँ \(K\), \(M\), \(F\) और \(N\) क्रमशः heat conduction matrix (convective और radiative boundary contributions सहित), mass matrix, thermal load vector और shape-function matrix हैं। material-property symbols (\(\rho\), \(c\), \(k_x, k_y, k_z\), \(Q\), \(hc\), \(hr\), आदि) की परिभाषाएँ ऊष्मा चालन समीकरण का अनुसरण करती हैं।
समीकरण \(\eqref{eq:2.4.8}\) nonlinear, transient equation है।
time discretization के लिए backward Euler method उपयोग करने पर, समय \(t=t_0\) का तापमान ज्ञात हो तो समय \(t=t_0+\Delta t\) का तापमान निम्न समीकरण से गणना किया जाता है।
Eq.\(\eqref{eq:2.4.13}\) को लगभग संतुष्ट करने वाले temperature vector \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\) को सुधारने पर विचार करें,
ताकि अधिक सटीक समाधान \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)+1}\) प्राप्त हो।
इसके लिए पहले temperature vector को निम्न प्रकार व्यक्त करें।
Eq.\(\eqref{eq:2.4.14}\), Eq.\(\eqref{eq:2.4.15}\) और Eq.\(\eqref{eq:2.4.16}\) को Eq.\(\eqref{eq:2.4.13}\) में substitute करके और second- तथा higher-order terms छोड़कर निम्न समीकरण मिलता है।
transient analysis में time discretization के लिए implicit method उपयोग होने के कारण time increment \(\Delta t\) का चयन सामान्यतः magnitude restriction के अधीन नहीं होता। हालांकि time increment \(\Delta t\) बहुत बड़ा हो तो convergence के लिए आवश्यक iterations की संख्या बढ़ती है।
सामान्यतः अत्यधिक बड़ा time increment \(\Delta t\) iterations की संख्या बढ़ाता है। implementation में automatic increment control residual vector की magnitude monitor करता है, convergence धीमा होने पर \(\Delta t\) घटाता है और iterations कम होने पर \(\Delta t\) बढ़ाता है (→ विवरण के लिए चरण नियंत्रण देखें)।