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Análisis transitorio de conducción térmica

Esta sección presenta la discretización temporal y el método de solución iterativo para el análisis de conducción térmica de sólidos mediante el método de los elementos finitos (FEM). Para las ecuaciones gobernantes y las condiciones de contorno del continuo, consulte Ecuación de conducción térmica.

Ecuación discretizada (punto de partida)

Al discretizar la ecuación de conducción térmica (ecuación de conducción térmica (gov_he_main)) mediante el método de Galerkin se obtiene

\[\begin{equation} K T + M \frac{\partial T}{\partial t} = F \label{eq:2.4.8} \end{equation}\]

donde

\[\begin{equation} K = \int\left( k_x \frac{\partial N^T}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial x} + k_y \frac{\partial N^T}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial y} + k_z \frac{\partial N^T}{\partial z}\frac{\partial N}{\partial z} \right) dV + \int hc N^T N ds + \int hr N^T N ds \label{eq:2.4.9} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M = \int \rho c N^T N dV \label{eq:2.4.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} F = \int Q N^T dV - \int q_s N^T dS + \int{hc} T c N^T dS + \int{hcTr} ({T+Tr}) ({T^2 + T r^2}) N^T dS \label{eq:2.4.11} \end{equation}\]
\[\begin{equation} N = (N^1, N^2, \ldots, Ni) \label{eq:2.4.12} \end{equation}\]

Aquí, \(K\), \(M\), \(F\) y \(N\) son, respectivamente, la matriz de conducción térmica (incluidas las contribuciones de contorno por convección y radiación), la matriz de masa, el vector de carga térmica y la matriz de funciones de forma. Las definiciones de los símbolos de las propiedades del material (\(\rho\), \(c\), \(k_x, k_y, k_z\), \(Q\), \(hc\), \(hr\), etc.) siguen Ecuación de conducción térmica.

Discretización temporal y solución iterativa

La ecuación \(\eqref{eq:2.4.8}\) es una ecuación transitoria no lineal. Utilizando el método de Euler hacia atrás para la discretización temporal, cuando se conoce la temperatura en el instante \(t=t_0\), la temperatura en el instante \(t=t_0+\Delta t\) se calcula mediante la ecuación siguiente.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} + M_{t=t_0+\Delta t} \frac{T_{t=t_0+\Delta t} - T_{t=t_0}}{\Delta t} = F_{t=t_0+\Delta t} \label{eq:2.4.13} \end{equation}\]

Considérese la mejora del vector de temperatura \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\), que satisface aproximadamente la Ec.\(\eqref{eq:2.4.13}\), para obtener la solución más precisa \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)+1}\).

Para ello, exprésese primero el vector de temperatura del modo siguiente.

\[\begin{equation} T_{t=t_0+\Delta t}= T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.14} \end{equation}\]

El producto de la matriz de conducción térmica y el vector de temperatura, la matriz de masa y los términos relacionados se aproximan del modo siguiente.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} = K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big) } {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.15} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M_{t=t_0+\Delta t} = M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.16} \end{equation}\]

Al sustituir la Ec.\(\eqref{eq:2.4.14}\), la Ec.\(\eqref{eq:2.4.15}\) y la Ec.\(\eqref{eq:2.4.16}\) en la Ec.\(\eqref{eq:2.4.13}\), y omitir los términos de segundo orden y superiores, se obtiene la ecuación siguiente.

\[\begin{equation} \bigg(\frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac {\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } { \partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big)} {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \bigg) \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \\\ = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.17} \end{equation}\]

La matriz de coeficientes del lado izquierdo se aproxima adicionalmente mediante la ecuación siguiente.

\[\begin{equation} K^{(i)} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac{\partial \big( K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \big)}{\partial T^{(i)}_{t=t_0+\Delta t}} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)} \label{eq:2.4.18} \end{equation}\]

Aquí, \(K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)}\) es la matriz de rigidez tangente.

En última instancia, la temperatura en el instante \(t=t_0+\Delta t\) puede calcularse realizando cálculos iterativos mediante la ecuación siguiente.

\[\begin{equation} K^{(i)} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.19} \end{equation}\]

En particular, para el análisis estacionario se realizan cálculos iterativos mediante la ecuación siguiente.

\[ K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} = F_{t=\infty} - K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} \]
\[\begin{equation} T_{t=\infty}^{(i+1)} = T_{t=\infty}^{(i)} + \Delta{T}_{t=\infty}^{(i)} \label{eq:2.4.20} \end{equation}\]

En el análisis transitorio, dado que se utiliza un método implícito para la discretización temporal, la elección del incremento de tiempo \(\Delta t\) no suele estar sujeta a una restricción sobre su magnitud. Sin embargo, si el incremento de tiempo \(\Delta t\) es demasiado grande, aumenta el número de iteraciones necesarias para la convergencia. En general, un incremento de tiempo \(\Delta t\) excesivamente grande aumenta el número de iteraciones. En la implementación, el control automático de incrementos supervisa la magnitud del vector residual, reduce \(\Delta t\) cuando la convergencia es lenta y aumenta \(\Delta t\) cuando el número de iteraciones es pequeño (→ consulte Control de pasos para obtener detalles).

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