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Análise transiente de condução de calor

Esta secção apresenta a discretização temporal e o método de solução iterativa para a análise da condução de calor em sólidos pelo método dos elementos finitos (FEM). Para as equações governantes e as condições de fronteira do contínuo, consulte Equação da condução de calor.

Equação discretizada (ponto de partida)

A discretização da equação da condução de calor (equação da condução de calor (gov_he_main)) pelo método de Galerkin conduz a

\[\begin{equation} K T + M \frac{\partial T}{\partial t} = F \label{eq:2.4.8} \end{equation}\]

onde

\[\begin{equation} K = \int\left( k_x \frac{\partial N^T}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial x} + k_y \frac{\partial N^T}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial y} + k_z \frac{\partial N^T}{\partial z}\frac{\partial N}{\partial z} \right) dV + \int hc N^T N ds + \int hr N^T N ds \label{eq:2.4.9} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M = \int \rho c N^T N dV \label{eq:2.4.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} F = \int Q N^T dV - \int q_s N^T dS + \int{hc} T c N^T dS + \int{hcTr} ({T+Tr}) ({T^2 + T r^2}) N^T dS \label{eq:2.4.11} \end{equation}\]
\[\begin{equation} N = (N^1, N^2, \ldots, Ni) \label{eq:2.4.12} \end{equation}\]

Aqui, \(K\), \(M\), \(F\) e \(N\) são, respetivamente, a matriz de condução térmica (incluindo as contribuições de fronteira de convecção e radiação), a matriz de massa, o vetor de cargas térmicas e a matriz de funções de forma. As definições dos símbolos das propriedades do material (\(\rho\), \(c\), \(k_x, k_y, k_z\), \(Q\), \(hc\), \(hr\), etc.) seguem Equação da condução de calor.

Discretização temporal e solução iterativa

A equação \(\eqref{eq:2.4.8}\) é uma equação não linear e transiente. Utilizando o método de Euler implícito para a discretização temporal, quando a temperatura no instante \(t=t_0\) é conhecida, a temperatura no instante \(t=t_0+\Delta t\) é calculada pela equação seguinte.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} + M_{t=t_0+\Delta t} \frac{T_{t=t_0+\Delta t} - T_{t=t_0}}{\Delta t} = F_{t=t_0+\Delta t} \label{eq:2.4.13} \end{equation}\]

Considere melhorar, a partir da Eq.\(\eqref{eq:2.4.13}\), o vetor de temperaturas \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\), que a satisfaz aproximadamente, para obter a solução mais precisa \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)+1}\).

Para esse fim, expresse primeiro o vetor de temperaturas da seguinte forma.

\[\begin{equation} T_{t=t_0+\Delta t}= T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.14} \end{equation}\]

O produto da matriz de condução térmica pelo vetor de temperaturas, a matriz de massa e os termos relacionados são aproximados da seguinte forma.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} = K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big) } {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.15} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M_{t=t_0+\Delta t} = M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.16} \end{equation}\]

Substituindo a Eq.\(\eqref{eq:2.4.14}\), a Eq.\(\eqref{eq:2.4.15}\) e a Eq.\(\eqref{eq:2.4.16}\) na Eq.\(\eqref{eq:2.4.13}\) e omitindo os termos de segunda ordem e superiores, obtém-se a equação seguinte.

\[\begin{equation} \bigg(\frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac {\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } { \partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big)} {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \bigg) \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \\\ = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.17} \end{equation}\]

A matriz de coeficientes do lado esquerdo é ainda avaliada aproximadamente pela equação seguinte.

\[\begin{equation} K^{(i)} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac{\partial \big( K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \big)}{\partial T^{(i)}_{t=t_0+\Delta t}} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)} \label{eq:2.4.18} \end{equation}\]

Aqui, \(K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)}\) é a matriz de rigidez tangente.

Por fim, a temperatura no instante \(t=t_0+\Delta t\) pode ser calculada efetuando iterações com a equação seguinte.

\[\begin{equation} K^{(i)} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.19} \end{equation}\]

Em particular, na análise em regime estacionário, as iterações são efetuadas utilizando a equação seguinte.

\[ K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} = F_{t=\infty} - K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} \]
\[\begin{equation} T_{t=\infty}^{(i+1)} = T_{t=\infty}^{(i)} + \Delta{T}_{t=\infty}^{(i)} \label{eq:2.4.20} \end{equation}\]

Na análise transiente, como é utilizado um método implícito para a discretização temporal, a escolha do incremento de tempo \(\Delta t\) não está, em geral, sujeita a uma restrição quanto à sua magnitude. No entanto, se o incremento de tempo \(\Delta t\) for demasiado grande, aumenta o número de iterações necessário para a convergência. Em geral, um incremento de tempo \(\Delta t\) excessivamente grande aumenta o número de iterações. Na implementação, o controlo automático do incremento monitoriza a magnitude do vetor residual, reduzindo \(\Delta t\) quando a convergência é lenta e aumentando \(\Delta t\) quando o número de iterações é pequeno (→ consulte Controlo de passos para mais detalhes).

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