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Notação tensorial e fundamentos matemáticos

Este capítulo reúne as convenções de notação tensorial, notação por índices e notação de Voigt utilizadas nos capítulos seguintes do Manual Teórico do FrontISTR. Aqui são descritas apenas regras de notação puras, que não dependem das definições das grandezas físicas. As convenções de notação que dependem da configuração associada ao movimento contínuo (configuração de referência/atual), como a distinção entre letras maiúsculas e minúsculas e entre derivadas materiais e espaciais, são apresentadas em Movimento, deformação e extensão, onde é introduzido o conceito de configuração.

Notação tensorial

Notação de vetores e tensores em negrito

Como convenção tipográfica, as grandezas escalares e os componentes de vetores e tensores são escritos em tipo normal (por exemplo, \(\rho\) e \(x_i\)), enquanto as próprias grandezas vetoriais e tensoriais são escritas a negrito (por exemplo, \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\) e \(\boldsymbol{\sigma}\)).

Convenção de soma de Einstein

Salvo indicação em contrário, utiliza-se a convenção de soma de Einstein: quando o mesmo índice aparece duas vezes no mesmo termo, efetua-se a soma sobre esse índice. Por exemplo,

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

e o componente \(i,j\) do produto \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) dos tensores \(\boldsymbol{A}\) e \(\boldsymbol{B}\) é

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

Como convenção de índices, quando \(i, j, k, l, \ldots\) são utilizados como índices sem qualificação adicional, representam índices associados aos graus de liberdade (\(1, 2, 3\) em três dimensões), enquanto as letras gregas minúsculas \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) utilizadas como índices representam índices associados aos nós que constituem um elemento.

Produto interno, transposta e produto tensorial

A transposta do tensor \(\boldsymbol{A}\) é indicada por \(\boldsymbol{A}^T\). O produto interno (dupla contração) dos tensores de segunda ordem \(\boldsymbol{A}\) e \(\boldsymbol{B}\) é escrito como

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

O produto interno dos vetores \(\boldsymbol{a}\) e \(\boldsymbol{b}\) é \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\), e o respetivo produto tensorial é \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\).

Notação de Voigt

A tensão e a deformação são tensores simétricos de segunda ordem relativamente aos graus de liberdade, e os coeficientes que representam a relação linear entre ambas formam um tensor de quarta ordem. O tratamento direto destes tensores num programa é desfavorável em termos de custo computacional e de programação (matrizes multidimensionais e ciclos profundamente aninhados). Por isso, os programas gerais de elementos finitos exploram a simetria e comprimem a tensão e a deformação em vetores coluna e o tensor de elasticidade de quarta ordem numa matriz bidimensional. A isto chama-se notação de Voigt.

Doravante, a representação matricial ou vetorial de uma grandeza tensorial \(\boldsymbol{A}\) é indicada por \(\hat{A}\) para a distinguir do tensor original.

Representação vetorial da tensão e da deformação

Para o tensor de tensão simétrico \(\boldsymbol{\sigma}\) e o tensor de deformação \(\boldsymbol{\varepsilon}\), em duas dimensões,

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

em três dimensões,

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

são tratados como vetores coluna, conforme mostrado acima. A mesma regra aplica-se a grandezas derivadas, como variações e diferenciais. Note-se que os componentes de corte do lado da deformação têm um fator 2 (o lado da tensão não). Devido a esta assimetria, o produto interno tensorial pode ser escrito de forma compacta como o produto interno vetorial

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

Na implementação, é fácil tratar incorretamente o fator 2 dos componentes de deformação de corte, pelo que é necessário ter sempre presente a convenção «ausente na tensão / presente na deformação». Exatamente a mesma convenção de Voigt é aplicada às grandezas na configuração de referência (a segunda tensão de Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) e a deformação de Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\)).

Representação matricial de um tensor de quarta ordem

Para a relação linear entre tensão e deformação, \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (na forma de componentes, \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)), utilizando a simetria de \(\boldsymbol{\varepsilon}\) obtém-se

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

Em três dimensões, dispondo \(\tilde{C}\) como a matriz de material 6×6 \(\hat{\tilde{C}}\), a relação tensorial original pode ser expressa como

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

Doravante, neste manual, salvo indicação em contrário, a matriz de material é indicada por \(D\) (ou \(\hat{C}\)). Para os componentes específicos da elasticidade linear isotrópica, consulte Elasticidade linear.

Convenções para operadores diferenciais

Operador gradiente simétrico

O operador gradiente simétrico \(\nabla_S\) para um campo vetorial \(\boldsymbol{u}\) é definido por

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

Na forma de componentes, \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\). A deformação infinitesimal \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) pode ser expressa de forma compacta com este operador. A distinção entre as configurações (de referência/atual) relativamente às quais os gradientes são calculados em deformação finita é abordada em Movimento, deformação e extensão.

Derivada temporal material

A derivada temporal material de uma grandeza \(A\) (a derivada temporal seguindo o mesmo ponto material) é indicada por um ponto sobrescrito, \(\dot{A}\):

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

A velocidade e a aceleração seguem esta convenção.

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