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Hiperelasticidade

Este capítulo aborda as leis constitutivas hiperelásticas suportadas pelo FrontISTR. Para detalhes sobre a seleção do modelo e as especificações de entrada, consulte a secção de funções 03_material.

Fenómeno (resposta reversível a grandes deformações)

TBD (a desenvolver em texto completo na próxima fase).

Enquadramento constitutivo

Para um material hiperelástico isotrópico, a energia potencial elástica é obtida a partir de uma resposta isotrópica desde o estado inicial sem tensões, podendo ser expressa como função dos invariantes principais \((I_1, I_2, I_3)\) do tensor de deformação de Cauchy-Green à direita \(C\), ou dos invariantes principais \((\overline{I}_1, \overline{I}_2, \overline{I}_3)\) do tensor de deformação sem a variação volumétrica, isto é, como \(W = W(I_1, I_2, I_3)\) ou \(W = W(\overline{I}_1, \overline{I}_2, \overline{I}_3)\).

A equação constitutiva de um material hiperelástico é definida pela relação entre a segunda tensão de Piola-Kirchhoff e a deformação de Green-Lagrange, aplicando-se o método de Total Lagrange à análise da deformação.

Conhecida a energia potencial elástica \(W\), a segunda tensão de Piola-Kirchhoff e a relação tensão-deformação podem ser calculadas da seguinte forma.

\[ S = 2\frac{\partial W}{\partial C} \]
\[ \mathbb{C} = 4 \frac{\partial^2 W}{\partial C \partial C} \]

A seguir são enumeradas as energias potenciais elásticas \(W\) dos modelos hiperelásticos adotados pelo FrontISTR.

Modelo hiperelástico Neo-Hookean

O modelo hiperelástico Neo-Hookean é uma extensão de uma lei linear isotrópica (lei de Hooke) de modo a poder ser aplicada a problemas de grandes deformações. O respetivo potencial elástico é o seguinte.

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 \]

Aqui, \(C_{10}\) e \(D\) são constantes do material.

Modelo hiperelástico Mooney-Rivlin

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + C_{01} (\overline{I}_2 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 \]

Aqui, \(C_{10}\), \(C_{01}\) e \(D\) são constantes do material.

Modelo hiperelástico anisotrópico Mooney-Rivlin

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + C_{01} (\overline{I}_2 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 + C_{42} (\overline{I}_4 - 1)^2 + C_{43} (\overline{I}_4 - 1)^3 \]

Aqui, \(C_{10}\), \(C_{01}\) e \(D\) são constantes do material comuns ao modelo isotrópico, enquanto \(C_{42}\) e \(C_{43}\) são constantes do material específicas da anisotropia.

Modelo hiperelástico Arruda-Boyce

\[ \begin{aligned} W &= \mu \left[ \frac{1}{2}(\overline{I}_1 - 3) + \frac{1}{20\lambda_m^2}(\overline{I}_1^2 - 9) + \frac{11}{1050\lambda_m^4}(\overline{I}_1^3 - 27) \right. \\ &\quad \left. + \frac{19}{7000\lambda_m^6}(\overline{I}_1^4 - 81) + \frac{519}{673750\lambda_m^8}(\overline{I}_1^5 - 243) \right] + \frac{1}{D} \left( \frac{J^2 - 1}{2} - \ln J \right) \end{aligned} \]
\[ \mu = \frac{\mu_0}{1 + \dfrac{3}{5\lambda_m^2} + \dfrac{99}{175\lambda_m^4} + \dfrac{513}{875\lambda_m^6} + \dfrac{42039}{67375\lambda_m^8}} \]

Aqui, \(\mu_0\), \(\lambda_m\) e \(D\) são constantes do material.

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