Análise modal - FrontISTR Documentation

Problema generalizado de valores próprios¶

Para a análise de vibração livre de um contínuo, o domínio é discretizado espacialmente e modelado como um sistema de massas concentradas com múltiplos graus de liberdade, como apresentado na Figura 2.3.1. Para um problema de vibração livre não amortecida, a equação governante (equação do movimento) é a seguinte.

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Aqui, $u$ é o vetor de deslocamentos generalizados, $M$ é a matriz de massa e $K$ é a matriz de rigidez. Seja $\omega$ a frequência angular natural, sejam $a$, $b$ e $c$ constantes arbitrárias e seja $x$ um vetor. Define-se a função

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

A segunda derivada desta expressão é

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

Substituindo estas expressões na Equação $\eqref{eq:2.3.1}$, obtém-se

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (- \omega^2 M + K x ) = ( -\lambda M + K x) = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

Isto é,

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

é obtida.

Assim, se a Equação $\eqref{eq:2.3.5}$ for satisfeita pelo coeficiente $\lambda = \omega^2$ e se puder determinar o vetor $x$, a função $u(t)$ é uma solução da Equação $\eqref{eq:2.3.1}$.

O coeficiente $\lambda$ é denominado valor próprio e o vetor $x$, vetor próprio. O problema de os determinar a partir da Equação $\eqref{eq:2.3.1}$ é denominado problema generalizado de valores próprios.

Exemplo de um sistema com múltiplos graus de liberdade em vibração livre não amortecida

Figura 2.3.1 Exemplo de um sistema com múltiplos graus de liberdade em vibração livre não amortecida

Propriedades e hipóteses das matrizes¶

Para o problema generalizado de valores próprios $K x = \lambda M x$ obtido na secção anterior, este manual assume as seguintes propriedades das matrizes. Estas hipóteses constituem a base da convergência e do âmbito de aplicação dos métodos de iteração inversa com shift e de Lanczos descritos abaixo. Para uma matriz complexa, a transposta é a conjugada complexa, enquanto uma matriz real é simétrica. Especificamente, para a matriz $K$, se a sua componente $ij$ for $k_{ij}$, e se o conjugado complexo de $k$ for denotado por $\bar{k}$, então

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

verifica-se a relação seguinte.

Neste manual, assume-se que as matrizes são simétricas e definidas positivas. Definida positiva significa que todos os valores próprios são positivos; de forma equivalente, a matriz satisfaz sempre a Equação $\eqref{eq:2.3.7}$ abaixo.

\[\begin{equation} x^{t} A x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

Iteração inversa com shift¶

Na análise estrutural por elementos finitos, em geral não é necessário obter todos os valores próprios; em muitos casos, bastam alguns valores próprios de baixa ordem. O HEC-MW destina-se a problemas de grande escala, nos quais as matrizes são grandes e muito esparsas (contêm muitas entradas nulas). Por conseguinte, é importante calcular eficientemente os valores próprios dos modos de baixa ordem tendo esta propriedade em consideração.

Seja $\sigma$ o limite inferior dos valores próprios. A Equação $\eqref{eq:2.3.5}$ pode então ser transformada na seguinte forma matematicamente equivalente.

\[\begin{equation} (K - \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{(\lambda-\sigma)} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

Esta transformação possui as seguintes propriedades úteis para o cálculo.

A ordem dos modos é invertida.
Os valores próprios próximos de $\rho$ são mapeados para os valores maiores.

No cálculo efetivo, os maiores valores próprios são frequentemente obtidos primeiro. Assim, em vez da Equação $\eqref{eq:2.3.5}$, o cálculo principal de convergência é aplicado à Equação $\eqref{eq:2.3.8}$, com o objetivo de obter primeiro os valores próprios próximos de $\rho$. Esta técnica é denominada iteração inversa com shift.

Método de Lanczos¶

Razão da utilização (comparação com o método de Jacobi)¶

Entre os métodos clássicos, o método de Jacobi é bem conhecido.

Este método é eficaz quando a matriz é pequena e densa. No entanto, como as matrizes tratadas pelo HEC-MW são grandes e esparsas, não é utilizado o método de Jacobi; em seu lugar, é empregado o método iterativo de Lanczos.

Algoritmo e características¶

Proposto por C. Lanczos na década de 1950, este método é um algoritmo para reduzir uma matriz à forma tridiagonal e apresenta as seguintes características.

É um método iterativo convergente e pode prosseguir mantendo a matriz esparsa.
O algoritmo consiste principalmente em produtos matriz-vetor e adapta-se bem à paralelização.
Adapta-se bem à decomposição geométrica de domínios associada a malhas de elementos finitos.
É possível efetuar um cálculo eficiente limitando o número de valores próprios e o intervalo de modos a obter.

O método de Lanczos parte de um vetor inicial, gera sucessivamente vetores ortogonais e constrói uma base para um subespaço. É considerado mais rápido do que o método do subespaço, outro método iterativo, e é amplamente utilizado em programas de elementos finitos. No entanto, este método é sensível a erros numéricos, que podem destruir a ortogonalidade dos vetores e provocar a falha do cálculo. Por isso, são essenciais medidas contra esses erros numéricos.

Interpretação geométrica (subespaço de Krylov)¶

Introduzindo a seguinte mudança de variáveis na Equação $\eqref{eq:2.3.8}$,

\[ A = (K - \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda-\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

o problema pode ser reescrito como

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

é obtida.

Para um vetor apropriado $q_0$, aplique a transformação linear representada pela matriz $A$ (consulte a Figura 2.3.2).

$Transformação linear de $q_0$ pela matriz $A$$

Figura 2.3.2 Transformação linear de $q_0$ pela matriz $A$

O vetor transformado é ortogonalizado no espaço gerado em conjunto com o vetor original. Isto é, efetua-se a ortogonalização de Gram-Schmidt como ilustrado na Figura 2.3.2. Seja $r_1$ o vetor resultante. Normalize-o para comprimento unitário de modo a obter $q_1$ (Figura 2.3.3). A partir de $q_1$, obtenha $q_2$ utilizando o mesmo procedimento. Neste ponto, $q_2$ é ortogonal tanto a $q_1$ como a $q_0$ (Figura 2.3.4). A continuação do mesmo cálculo produz vetores mutuamente ortogonais até à ordem da matriz.

$Um vetor ortogonal a $q_0$: $q_1$$

Figura 2.3.3 Um vetor ortogonal a $q_0$: $q_1$

$Um vetor ortogonal a $q_1$ e $q_0$: $q_2$$

Figura 2.3.4 Um vetor ortogonal a $q_1$ e $q_0$: $q_2$

Em particular, o algoritmo de Lanczos aplica-se à sequência de vetores $A q_0$, $A q_1$, $A q_2$

ou, de forma equivalente, $A q_0$, $A^2 q_0$, $A^3 q_0$, ,$A^n q_0$

por ortogonalização de Gram-Schmidt. Esta sequência de vetores é denominada sequência de Krylov, e o espaço que gera é denominado subespaço de Krylov. Quando se efetua a ortogonalização de Gram-Schmidt neste espaço, cada novo vetor pode ser obtido utilizando os dois vetores mais recentes. A isto chama-se princípio de Lanczos.

Tridiagonalização¶

Na iteração acima, o cálculo do vetor (i+1)-ésimo pode ser escrito como

\[\begin{equation} \beta_{i+1} q_{i+1} + \alpha_{i+1} q_{i} + \gamma_{i+1} q_{i-1} = Aq_{i} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

onde

\[ \beta_{i+1} = \frac{1}{||r_{i+1}||} \]

\[ \alpha_{i+1} = \frac{(q_i, Aq_i)}{(q_i, q_i)} \]

\[\begin{equation} \gamma_{i+1} = \frac{(q_{i-1}, Aq_i)}{(q_{i-1}, q_{i-1})} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

Utilizando notação matricial, isto torna-se

\[\begin{equation} AQ_m = Q_m T_m \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

onde

\[ Q_m = [q_{1}, q_{2}, q_{3}, \ldots ,q_{m}] \]

\[\begin{equation} T= \begin{pmatrix} \alpha_{1} & \gamma_{1} & & &\\ \beta_{2} & \alpha_{2} & \gamma_{2} & & \\ & \cdots & & &\\ & & & \beta_{m} & \alpha_{m} \end{pmatrix} \label{2.3.14} \end{equation}\]

Assim, os valores próprios são obtidos resolvendo o problema de valores próprios da matriz tridiagonal obtida a partir da Equação $\eqref{eq:2.3.13}$.

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